Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр)


НазваниеМетодические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр)
страница3/6
Дата публикации07.03.2013
Размер1.2 Mb.
ТипМетодические указания
userdocs.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4   5   6
^

Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА


§2.1 Векторы. Линейные операции над векторами
Геометрический вектор - это направленный отрезок, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, а другой конец (точка В) – концом вектора.

Длиной вектора (модулем) называют длину отрезка [АВ]. Векторы обозначают как , а их длины .

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым .

Произведением вектора на некоторое число αR называется вектор, длина которого равна длине вектора , умноженный на абсолютную величину числа α, а направление совпадает с направлением вектора , если α>0, и противоположно ему, если α<0.

Суммой нескольких векторов называется вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего.

Проекцией вектора на ось ОХ называется число, равное длине вектора , умноженной на косинус угла между вектором и положительным направлением оси ОХ.

Если векторы и заданы своими координатами, т.е , то вектор k будет иметь координаты k 1, k 2,…,k n, где k – действительное число; векторы + будут иметь координаты , ,…, .

Пусть имеется трехмерная прямоугольная система координат, в которой задана точка М(x,y,z).

Радиусомвектором точки М называется вектор , соединяющий начало координат с этой точкой.

Длина радиуса – вектора определяется как ;

Единичные векторы координат осей называются ортами. Радиус – вектор через орты выражается как = . Если вектор задан координатами точек начала А(x1,y1,z1) и конца В(x2,y2,z2), то ;

.

Углы α,β,γ между вектором и положительными направлениями осей координат называются направляющими, при этом , причем cos2α+cos2β+cos2γ=1.

______________
2.1.1. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы . М – середина стороны ВС, N – середина АС. ОА =3, ОВ=4. Выразить через векторы .

Ответ:



2.1.2. Проверить аналитически и геометрически векторные тождества

а) ; б) .

Ответ:

2.1.3. В треугольной пирамиде SABC, где S – вершина, даны векторы . Найти вектор , где М – центр тяжести основания АВС.

Ответ: .

2.1.4. Даны векторы . Вектор - медиана ΔОАВ. Разложить аналитически и геометрически вектор по векторам .

Ответ:

2.1.5. В параллелограмм АВСД заданы вершина С(6;-8;5) и векторы АС={-3;1;4}, ВД={2;-3;5} – его диагонали. Определить координаты точки В.

Ответ: В(6,5;-7;0,5).

2.1.6. Построить вектор = . Определить его длину и направление.

Ответ: | |=7.

2.1.7. В прямоугольной системе координат даны векторы и . Найти длину и направление вектора .

Ответ: .

2.1.8. Построить параллелограмм на векторах = и = . Определить его диагонали.

Ответ: = ; = .

____________
2.1.9. На плоскости даны точки А(3;3); В(-3;3); С(-3;0); О(0;0). Построить вектор = . Выразить векторы через единичные векторы координатных осей. Найти длину и направление вектора .

Ответ:

2.1.10. Определить координаты центра тяжести треугольника АВС, если А(5;1;12); В(11;3;8); С(2;5;0).

2.1.11. Построить точку М(5;-3;4). Определить длину и направление ее радиус – вектора.

Ответ: .

2.1.12. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы, если .

2.1.13. Даны векторы ={3;-2;1}, ={-2;4;-3}. Найти длину и направление вектора .

Ответ: .

2.1.14. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3); В(3;2;1); С(6;4;4). Найти координаты его четвертой вершины.

Ответ: Д(4;0;6).

§2.2. Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается скалярное произведение как или .

Итак, по определению, = .
Свойства скалярного произведения
1. = .

2. .

3. .

4. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то .

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть .

Скалярное произведение ортов:

.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе как ,то .

Применение скалярного произведения


  1. Длина вектора равна .

  2. Угол между векторами определяется как .

  3. Проекция вектора .

  4. Условие ортогональности двух векторов =0, .

  5. Работа силы по перемещению материальной точки из А в В равна .


______________
2.2.1. Найти скалярное произведение векторов и .

Ответ: 4.

2.2.2. Найти угол между векторами и .

Ответ: 90.

2.2.3. Найти алгебраическую проекцию вектора на вектор .

Ответ: 3.

2.2.4. Даны векторы . Вектор . Найти: ; ; ; ; .

Ответ: 5; 4; .

2.2.5. Даны векторы: . При каких значениях n угол между векторами тупой, прямой, острый?

Ответ: n< ; n= ; n> .

2.2.6. Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7).

Ответ: А=6.

2.2.7. На материальную точку действуют силы 1= , 2= , 3= . Найти работы равнодействующей этих сил и силы 2 при перемещении точки из А(2;-1;0) в В(4;1;-1).

Ответ:1; -6.

2.2.8. Определить длину вектора , если .

Ответ: 63

2.2.9. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где .

Ответ: 7; 13.

2.2.10. Векторы взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы, равные π/3. Зная, что , найти .

Ответ: -7.

_____________
2.2.11. Даны векторы и . Найти , , .

Ответ: 13; .

2.2.12. Даны векторы = , = , = . Найти модуль скалярного произведения диагоналей четырехугольника АВСД.

Ответ:

2.2.13. Даны векторы Вектор . Найти: , .

Ответ:

2.2.14. Даны силы 1= , 2= . Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку А(2;-1;-1).

Ответ: 2.

2.2.15. Найти угол между векторами и , где и - единичные векторы с углом между ними 120.

Ответ: -1/2.
§2.3. Векторное произведение векторов
Векторным произведением двух векторов называется такой вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах , вектор перпендикулярен векторам и направлен таким образом, что при взгляде в конец вектора кратчайший поворот от видится против часовой стрелки. В этом случае говорят, что векторы образуют правую тройку. В противном случае тройка векторов левая.

Обозначается векторное произведение как или .

Модуль вектора .
Свойства векторного произведения
1. = - .

2. .

3. .

Векторное произведение ортов

.

Для перемножения ортов между собой можно воспользоваться следующей схемой (рис.1). Векторное произведение двух последовательно стоящих ортов равно           следующему за ними орту, при этом если

движение осуществляется слева направо,

то знак векторного произведения положи-

тельный, в противном случае – отрицательный,

т.е. , и тд.

Если заданы два вектора своими координатами в ортонормированном базисе как , то .
Применение векторного произведения


  1. Площадь треугольника, построенного на векторах , равна .

  2. Условие коллинеарности двух векторов = .

  3. Момент силы , приложенный в точке А, равен .


________________
2.3.1. Построить векторы , если 1) ;

2) и .

Ответ: ; 0.

2.3.2. Раскрыть скобки и упростить выражения:

1) ;

2) .

Ответ: 1) ; 2) .

2.3.3. Даны векторы = , = . Найти .

Ответ: .

2.3.4. Даны векторы Найти .

Ответ: .

2.3.5. Найти площадь треугольника с вершинами А(1;2;0); В(3;0;-3); С(5;2;6).

Ответ:14.

2.3.6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы, угол между которыми равен π/3.

Ответ: .

2.3.7. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы - единичные векторы, образующие угол 45.

Ответ: .

2.3.8. Сила = приложена в точке М(2;-1;1). Найти ее момент относительно начала координат.

Ответ: .

2.3.9. Построить векторы , если 1) ; 2) .

Ответ: .

2.3.10. Раскрыть скобки и упростить выражения:

1) ;

2) .

Ответ: 1) ; 2) 3.

2.3.11. Даны векторы . Найти векторное произведение .

Ответ: .

2.3.12. Дан треугольник с вершинами А(2;-1;2); В(1;2;-1); С(3;2;1). Найти его площадь.

Ответ: .

2.3.13. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы с углом между ними 30.

Ответ: 1,5.
§2.4. Смешанное произведение трех векторов
Смешанным произведением трех векторов называется произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор, то есть произведение вида или иначе .

Свойства смешанного произведения

1. = .

2. .

3. .

4. .

Если три вектора заданы своими координатами в ортонормированном базисе как , то

.
Применение смешанного произведения

  1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , Vпарал.=| |.

  2. Объем пирамиды, построенной на векторах , Vпир.= | |.

  3. Условие компланарности трех векторов =0.

___________
2.4.1. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки А(1;2;3); В(0;-1;1); С(2;5;2); Д(3;0;-2).

Ответ: 4.

2.4.2. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ: 24.

2.4.3. Доказать, что векторы  компланарны.
Ответ:

2.4.4. Доказать, что точки А(2;-1;-2); В(1;2;1); С(2;3;0); Д(5;0;6) лежат в одной плоскости.

Ответ: не лежат.

_______________
2.4.5. Задана пирамида с координатами своих вершин: А(2;0;0); В(0;3;0); С(0;0;6) и Д(2;3;8). Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.

Ответ: 14; .

2.4.6. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ: 51.

2.4.7. Проверить компланарность векторов .

Ответ: компланарны.
1   2   3   4   5   6

Похожие:

Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к изучению дисциплины, планы семинарских занятий,...
Нятий, методические рекомендации по подготовке к семинарскому занятию, выполнению самостоятельной работы и зачёту для студентов 1-го...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по выполнению практических занятий для студентов...
Теория электрических цепей: Методические указания по выполнению практических занятий / В. Р. Комельков. Екатеринбург: Уртиси гоу...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к семинарским занятиям для студентов 4 курса...
Английский язык [Текст] + [Электронный ресурс]: методические указания к семинарским занятиям для студентов 4 курса очной формы обучения...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconУчебный курс «Психология и педагогика»
Психология и педагогика: методические указания к семинарским и практическим занятиям для студентов технических специальностей очной...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по выполнению контрольной работы для студентов...
Методические указания предназначены для студентов фармацевтических вузов заочной формы обучения
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по организации самостоятельной работы и аудиторных...
Методические указания предназначены для студентов первого курса, обучающихся на специальности 141403. 65 «Атомные станции: проектирование,...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к выполнению практических занятий для студентов...
Методические указания к выполнению практических занятий для студентов всех форм обучения специальности 080105 – «Финансы и кредит»...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к выполнению практических занятий для студентов...
Методические указания к выполнению практических занятий для студентов всех форм обучения специальности 080105 – «Финансы и кредит»...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconРасписание учебных занятий студентов 4 курса очной формы обучения...

Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconРасписание учебных занятий студентов 4 курса очной формы обучения...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница