Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр)


НазваниеМетодические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр)
страница4/6
Дата публикации07.03.2013
Размер1.2 Mb.
ТипМетодические указания
userdocs.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4   5   6
^

Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


§ 3.1. Прямая линия на плоскости
Уравнением линии на плоскости ХОУ называется такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Простейшей из линий является прямая.

Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат различные виды ее уравнений (табл. 1).

Таблица 1



п/пВид уравненияСмысл входящих в уравнение коэффициентовПримечания1Уравнение с угловым коэффициентом y=kx+bk – тангенс угла  наклона прямой к положительному направлению оси ОХ; b – отрезок, отсекаемый прямой от оси ОY≠π/22Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0А,В – координаты вектора, перпендикулярного прямой (нормального вектора) N.А,В не равны нулю одновременно3Уравнение прямой, про-ходящей через данную точку в данном направ-лении у-у0=k(х-х0 ) т.М(х0,у0) – заданная точка; k – угловой коэффициент прямойПри различных k уравнение называется уравнением пучка прямых с центром в точке М(х0,у0)4Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки т.М1(х1,у1), т.М2(х2,у2) – заданные точки5Уравнение прямой в отрезках на осях х .

а,b – отрезки, отсекаемые прямой от координатных осей ОХ и ОY соответственно а≠0, b≠06Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору

т.М0(х0,у0) – заданная точка; m,n – координаты вектора, параллельного искомой прямой ( направляющего век-тора) Такое уравнение часто называют каноническим№

п/пВид уравненияСмысл входящих в уравнение коэффициентовПримечания7Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору А(х-х0)+В(у-у0)=0т.М0(х0,у0) – заданная точка, А,В – координаты нормального вектора искомой прямой

^ Угол между двумя прямыми
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: l1: y=k1х+b1, l2: y=k2x+b2, тогда острый угол между двумя прямыми определяется его тангенсом по формуле

.

Если прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями А1х1у1=0 и А2х2у+С2=0, то угол между ними можно найти как угол между их нормальными векторами

.

В случае задания прямых своими каноническими уравнениями

угол между прямыми находится как угол между направляющими векторами прямых

.
^ Условия параллельности и перпендикулярности прямых (Табл. 2)

Таблица 2



п/пСпособ задания прямыхУсловие параллельности прямыхУсловие перпендикулярности прямых1

l1: y=k1х+b,

l2: y=k2x+b2k1=k2k1k2= -1№

п/пСпособ задания прямыхУсловие параллельности прямыхУсловие перпендикулярности прямых2l1: А1х1у1=0

l2: А2х2у+С2=0 A1A2+B1B2=03l1:

l2: m1m2+n1n2=0

Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая l задана уравнением Аху+С=0, точка М0(х0,у0). Расстояние от точки М0(х0,у0) до прямой l определяется как

.

____________
3.1.1. Написать уравнение прямой, отсекающей от оси ОY отрезок, равный 3 и составляющий с осью ОХ угол а) 45; б) 135.

Ответ: у=х+3; у=-х+3.

3.1.2. Написать уравнение прямой, походящей через начало координат под углом 150 к оси ОХ.

Ответ: у= .

3.1.3. Дан треугольник с вершинами А(-1;1), В(1;5), С(3;-2). Написать уравнения сторон треугольника, определить внутренний угол А.

Ответ: АС: 3х+4у-1=0;

АВ: 2х-у+3=0;

ВС: 7х+2у-17=0;

tgA=-5,5.

3.1.4. Написать уравнение прямой, отсекающей на осях х координат равные отрезки длиной а единиц.

Ответ: .

3.1.5. Написать уравнение прямой, проходящей через точки М1(-1;0), М2(1;-3). Уравнение привести к уравнению с угловым коэффициентом.

Ответ: у= .

3.1.6. Доказать, что точки М1(2;1), М2(-3;3), М3(7;-1) лежат на одной прямой.

3.1.7. Среди прямых 3х-2у+7=0, 6х-4у-9=0, 6х+4у-5=0, 2х+3у-6=0 указать параллельные и перпендикулярные.

3.1.8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(-2;1) параллельно прямой 3х-2у+5=0.

Ответ: 3х-2у+8=0.

3.1.9. Через точку М0(1;-2) провести параллельную и перпендикулярную прямые к прямой 2х+3у-3=0. Написать уравнения прямых.

Ответ: 2х+3у+4=0, 3х-2у-7=0.

3.1.10. Найти расстояние от точки М0(2;-1) до прямой 3х+4у-22=0.

Ответ: 4.

3.1.11. Найти расстояние между параллельными прямыми 4х-3у-7=0 и 4х-3у+3=0.

Ответ: 2.

3.1.12. Найти уравнения прямых, параллельных прямой 12х+5у-7=0 и отстоящих от нее на расстоянии d=3.

Ответ: 12х+5у-46=0, 12х+5у+32=0.

3.1.13. Найти точку В, симметричную точке А(-2;4) относительно прямой 3х+у-8=0.

Ответ: (4;6).

______________
3.1.14. Написать уравнение прямых, отсекающих от оси ОY отрезок b=-3 и составляющих с осью ОХ углы а) 60; б) 120.

Ответ: у = ; у = .

3.1.15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2;3) под углом 45 к оси ОХ.

Ответ: у = х+1.

3.1.16. Написать уравнения параллельной и перпендикулярной прямых, проходящих через точку А(1;4) к прямой 2х+у+1=0.

Ответ: 2х+у-6=0, х-2у+7=0.

3.1.17. Найти расстояние от начала координат до прямой 6х+8у+20=0.

Ответ: 2.

3.1.18.Найти угол между прямыми у = 2х-3 и х-2у+2=0.

Ответ: .
§ 3.2. Кривые второго порядка на плоскости
Уравнение вида Ах2+2Вхуу2+2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

В табл. 3 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.
Таблица 3



п/пОпределение кривойВид уравненияПримечание1

Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.2)

- каноническое уравнение эллипса2а – большая ось;

2b – малая ось

2с–межфокус-ное; расстояние с2=а2-b2;

- эксцентриси-тет, 0<<1.

Т. А1212 – вершины эллипса№

п/пОпределение кривойВид уравненияПримечание2Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.3)

- каноническое уравнение гиперболы2а–действи-тельная ось;

2b–мнимая ось;

2с –меж-фокусное расстояние с2=а2+b2;

- эксцентри-ситет, >1.

Точки А12 – вершины гиперболы.

Прямые

- асимптоты3.Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.



у2=2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ

x2=2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.4б)F - фокус,

ди-ректриса.

Точка (0;0) – вершина параболы (рис.3а)

F - фокус,

ди-ректриса.

Точка (0;0) – вершина параболы (рис.4б)

______________
3.2.1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса . Построить эллипс.

Ответ: 3;0;0,6.

3.2.2. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого а) большая полуось равна 10, эксцентриситет равен 0,8; б) малая полуось равна , расстояние между фокусами равно 8.

Ответ: ; .

3.2.3. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М(2; ) и В(0;2). Написать его уравнение. Построить кривую.

Ответ: .

3.2.4. Построить гиперболу х2-4у2=16 и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет, угол между асимптотами.

Ответ: .

3.2.5. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что: а) расстояние между фокусами равно 10, между вершинами равно 8; б) вещественная полуось равна , эксцентриситет равен .

Ответ:

3.2.6. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .

Ответ: .

3.2.7. Написать уравнения прямых, проходящих через левую вершину гиперболы 1 а) параллельно прямой 3х-2у+6=0; б) перпендикулярно асимптоте, образующей острый угол с осью ОХ.

Ответ: а)3х-2у+65=0, б) .

3.2.8. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А(2;4) и симметрична относительно оси ОХ. Написать ее уравнение.

Ответ: у2=8х.

3.2.9. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось а=12, эксцентриситет равен 0,5. Найти расстояние между фокусами.

Ответ: ; 2с=12.

3.2.10. Определить полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса 3х2+4у2-12=0.

Ответ: а=2; b=3; с=1; =0,5.

3.2.11. Написать уравнение прямой, проходящей через нижний правый фокус эллипса под углом 45 к оси ОХ.

Ответ: у=х-3.

3.2.12. Определить фокусы, вершины, эксцентриситет и асимптоты гиперболы . Сделать эскиз.

Ответ: F1(0;-5); F2(0;5), .

3.2.13. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки А(2;1), В(-4; 7).

Ответ: .

3.2.14. Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину гиперболы и отсекающую от оси ОY отрезок 5 единиц.

Ответ: .

3.2.15. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А(1;-2) и симметрична относительно оси ОY. Написать уравнение параболы, найти координаты фокуса и уравнение директрисы.

Ответ: у= -2х2; F(0;-1/8); у=1/8.
§ 3.3. Общее уравнение кривых второго порядка

Преобразование уравнения кривой второго порядка

к каноническому виду
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

Ах2+2Вхуу2+2Dх+2Еу+F=0, (1)

где коэффициенты А, В, С одновременно в ноль не обращаются.

С помощью преобразования системы координат уравнение (1) может быть приведено к простейшему (каноническому) виду.

Если в уравнение (1) коэффициент В=0, то оно имеет вид

Ах2+ Су2 +2Dх+2Еу+F=0. (2)

К канонической форме уравнение (2) преобразуется с помощью параллельного переноса координатных осей по формулам

, (3)

где (х0;у0) – координаты нового начала О’ системы координат относительно старой системы. Новые оси О’Х’, О’Y’ параллельны старым осям.

После подстановки формул (3) в уравнение (2) выделяются полные квадраты по переменным х’ и y’.

Если в уравнение (1) В≠0, то путем поворота координатных осей на некоторый угол , определяемый формулой

, (4)

можно исключить слагаемое, содержащее произведение текущих координат. Для этого необходимо подставить sin и cos в формулы поворота координатных осей:

. (5)

Затем следует выражение (5) подставить в уравнение (1).

______________

3.3.1. Привести к каноническому виду уравнение 4х2+5у2+20х-30у+10=0. Построить кривую.

Ответ: .

3.3.2. Преобразовать уравнение 3х2- ху+у2+6х+ у-4=0 к каноническому виду. Построить кривую.

Ответ: .

________________
3.3.3. Привести к каноническому виду уравнение 5х2-4у2+16у-36=0. Построить кривую.

Ответ: .

3.3.4. Привести к каноническому виду уравнение х2+2ху+у2= . Построить кривую.

Ответ: у= -х2.

_______________

§ 3.4. Плоскость в пространстве
Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.

Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 4.)

Таблица 4



п/пВид уравненияСмысл входящих в уравнение коэффициентовПримечание1Уравнение плоскости, проходя-щей через данную точку пер-пендикулярно заданному век-тору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0(x0,y0,z0) – координаты заданной точки;

АВС – координаты заданного вектораВектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости2Общее уравнение плоскости Ахуz+D=0D=-Ax0-By0-Cz0,

АВС – нормальный вектор плоскости;

х0,y0,z0 – координаты данной точкиЭто уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными преобразованиями3Уравнение плоскости, проходя-щей через три заданные точки

М1(х1,y1,z1), М2(х2,y2,z2),

М3(х3,y3,z3) – три точки, заданные своими координатамиТочки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой4Уравнение плоскости в отрезках на осях

а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координатаbc≠0

Пусть даны две плоскости 1 и 2:

1: А1х1у1z+D1=0,

2: А2х2у2z+D2=0.
Угол между двумя плоскостями определяется как .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

=0, то есть =0.
Условие параллельности двух плоскостей:

или .
Расстояние от точки до плоскости:

,

где Ахуz+D=0 – заданная плоскость; М(x0,y0,z0) – данная точка.

_________________
3.4.1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;2;3) перпендикулярно вектору .

Ответ: х-2у-3z+14=0.

3.4.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2;3;-1), М2(1;5;3) перпендикулярно плоскости 3х-у+3z+15=0.

Ответ: 2х+3у-z-14=0.

3.4.3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;7;3) параллельно плоскости х-4у+5z+1=0.

Ответ: х-4у+5z+15=0.

3.4.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;-3;1) параллельно векторам .

Ответ: х+у-z+2=0.

3.4.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;2;-2) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3х-2у-z+1=0 и х-у-z=0.

Ответ: х+2у-z-8=0.

3.4.6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(3;-1;2), М2(4;-1;-1), М3(2;0;2) .

Ответ: 3х+3у+z-8=0.

3.4.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОZ и точку М0(1;-2;1).

Ответ: 2х+у=0.

3.4.8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;3;-4) параллельно плоскости YOZ.

Ответ: х-2=0.

3.4.9. Найти расстояние от точки М1(2;-1;-1) до плоскости 16х-12у+15z-4=0.

Ответ:1.

3.4.10. Найти угол между плоскостями х+у-1=0 и 2х-у+ z+1=0.

Ответ: .

_______________
3.4.11. Даны точки М1(0;-1;3), М2(1;3;5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору .

Ответ: х+4у+2z-2=0.

3.4.12. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0;-5;0) и (0;0;2) перпендикулярно плоскости х+5у+2z-10=0.

Ответ: 2у-5z+10=0.

3.4.13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;1;4) параллельно плоскости 3х+2у-7z+8=0.

Ответ: 3х+2у-7z+32=0.

3.4.14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;3;6) перпендикулярно плоскостям 2х+3у-2z-4=0, 3х+5у+z=0.

Ответ: 13х-8у+z+44=0.

3.4.15. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(1;-1;0), М2(2;1;-3), М3(-1;0;1) .

Ответ: х+у+z=0.

3.4.16. Найти угол между плоскостями х+2у-3z+4=0, 2х+3у+z+8=0.

Ответ: .

3.4.17. Найти расстояние от точки М0(1;3;-2) до плоскости 2х-3у-4z+12=0.

Ответ: .
§ 3.5. Прямая в пространстве.

Прямая и плоскость
Различным способам задания прямой в пространстве соответствуют разные виды ее уравнений, основные из которых представлены в таблице 5.

Таблица 5



п/пВид уравненияСмысл входящих в уравнение коэффициентовПримечание1 Канонические уравнения прямой

(x0,y0,z0) – координаты точки М0, лежащей на прямой;

m,n,p – координаты вектора, параллельного прямой

Вектор называется направля-ющим вектором прямой2Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

(x1,y1,z1), (x2,y2,z2) –

координаты двух заданных точекУравнение является обобще-нием уравнения прямой на плоскости3Уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей

- уравнение одной плоскости;

- уравнение второй плоскости Уравнение иначе назы-вается общими уравне-ниями прямой в простран-стве

Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:

l1:

l2: .

Угол между прямыми определяется как .

Условие перпендикулярности прямых:

=0.


Условие параллельности прямых:

.

Пусть плоскость  задана уравнением Ахуz+D=0, а прямая l – своими каноническими уравнениями , тогда угол между прямой и плоскостью определяется как

.

Условие параллельности прямой и плоскости Аm+Bn+Cp=0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

_____________
3.5.1. Написать канонические уравнения прямой, образующей с осями координат углы и проходящей через точку М0(-1;0;5).

Ответ: .

3.5.2. Написать канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4х-у+2z-3=0.

Ответ: .

3.5.3. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М0(2;-3;-4) параллельно прямой: .

Ответ: .

3.5.4. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М0(2;1;-1) перпендикулярно плоскости х-у+z+1=0.

Ответ: .

3.5.5. Найти угол между прямыми:

и .

Ответ: /3.

3.5.6. Доказать, что прямые и параллельны.
3.5.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и .

Ответ: 3х-2у-3=0.

3.5.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1;-2;3) и прямую: .

Ответ: 7х+5у-9z+30=0.

3.5.9. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3х+3у-z+1=0.

Ответ: 6х-5у+3z-11=0.

3.5.10. Найти точку пересечения с плоскостью 2х+3у-2z+2=0.

Ответ: (3;2;7).

3.5.11. Найти угол между прямой и плоскостью 6х-3у+2z=0.

Ответ: .

________________
3.5.12. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(-1;2;3) и В(2;6;-2). Найти ее направляющие косинусы.

Ответ:

.

3.5.13. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (-4;3;0) параллельно прямой .

Ответ: .

3.5.14. Найти угол между прямыми и .

Ответ: .
3.5.15. Найти расстояние между прямыми и .

Ответ: .

3.5.16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (3;4;0).

Ответ: х-2у+z+5=0.

3.5.17. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 2х+3у-z=4.

Ответ: 8х-5у+z-11=0.

3.5.18. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые и .

Ответ: х+2у-2z=1.

1   2   3   4   5   6

Похожие:

Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к изучению дисциплины, планы семинарских занятий,...
Нятий, методические рекомендации по подготовке к семинарскому занятию, выполнению самостоятельной работы и зачёту для студентов 1-го...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по выполнению практических занятий для студентов...
Теория электрических цепей: Методические указания по выполнению практических занятий / В. Р. Комельков. Екатеринбург: Уртиси гоу...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к семинарским занятиям для студентов 4 курса...
Английский язык [Текст] + [Электронный ресурс]: методические указания к семинарским занятиям для студентов 4 курса очной формы обучения...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconУчебный курс «Психология и педагогика»
Психология и педагогика: методические указания к семинарским и практическим занятиям для студентов технических специальностей очной...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по выполнению контрольной работы для студентов...
Методические указания предназначены для студентов фармацевтических вузов заочной формы обучения
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по организации самостоятельной работы и аудиторных...
Методические указания предназначены для студентов первого курса, обучающихся на специальности 141403. 65 «Атомные станции: проектирование,...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к выполнению практических занятий для студентов...
Методические указания к выполнению практических занятий для студентов всех форм обучения специальности 080105 – «Финансы и кредит»...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к выполнению практических занятий для студентов...
Методические указания к выполнению практических занятий для студентов всех форм обучения специальности 080105 – «Финансы и кредит»...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconРасписание учебных занятий студентов 4 курса очной формы обучения...

Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconРасписание учебных занятий студентов 4 курса очной формы обучения...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница