Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр)


НазваниеМетодические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр)
страница5/6
Дата публикации07.03.2013
Размер1.2 Mb.
ТипМетодические указания
userdocs.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4   5   6
^

Глава IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


§4.1. Основные элементарные функции,

некоторые свойства и графики
Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению х ставится в соответствие одно определенное значение у.

Х – множество значений переменной х, которое называется областью определения функции и обозначается D(f).

Y – множество значений переменной величины у, обозначаемое как E(f).

Основными элементарными функциями являются следующие аналитически заданные функции:

  1. Степенная функция у=х, R.

  2. Показательная функция у=ах, а>0, а≠1.

  3. Логарифмическая функция y=logax, a>0, а≠1.

  4. Тригонометрические функции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx.

  5. Обратные тригонометрические функции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Элементарная функция может быть сложной, то есть являться функцией от некоторой функции, например y=f(u), u=(х), тогда y=f((x)).

Различают четные и нечетные функции, периодические и непериодические, функции общего вида.

________________
4.1.1. Задана функция .

Найти .

Ответ: .

4.1.2. Найти область определения функций D(f):

а) ;  б) ; в) f(x)=log3(9-x2);

г) ; д) ; е) .

Ответ: (-;-1)(-1;+); (-;-2)(-2;2)(2;+); (-3;3); (-;-2)(2;+); (-;2][5;+); [-6;2].

4.1.3. Найти множество значений функции E(f):

а) f(x)=x2+4x+3;  б) f(x)=2|x|; в) f(x)=3-5cosx; г) f(x)=|x|-3;

д) f(x)=log2(128-1242-|x|.

Ответ: [2;7)

4.1.4. Определить четные, нечетные функции и функции общего вида:

а) ; б) f(x)=x4-5|x|; в) f(x)=ex-2e-x; г) ;

д) ; е) ; ж) f(x)=arcsinx; з) f(x)=xex; и) .

Ответ: а) нечет.; б) чет.; в) общ. вида; г) нечет.; д) чет.; е) общ. вида; ж) нечет.; з) общ. вида; и) нечет.

4.1.5. Определяется ли заданная функция периодической; найти ее наименьший положительный период, если он существует:

а) f(x)=sin4x; б) f(x)=cos25x; в) f(x)=tg ; г) f(x)=sin3xcos3x; д) .

4.1.6. Найти значение функции f(19), если известно, что функция f(x) нечетная, имеет период, равный 10, и на отрезке [0;5] имеет вид у=25х2-х4.

Ответ: -24.

4.1.7. Построить графики функций:

а) у=х2-6х+11; б) у=1 ; в) у=2х-1+3; г) у=log2|x|; д) y=3cos2x.

______________

4.1.8. Задана функция .

Найти .

Ответ: .

4.1.9. Найти область определения функций D(f):

а) ; б) ; в) f(x)=log2(x2-4x+3);

г) ; д) ; е) f(x)=tg2x.

Ответ: (-;1)(1;+); (-;+); (-;1)(3;+); [-2;1); [-1;3];(-;+).

4.1.10. Найти множество значений функций E(f):

а) f(x)=x2-6x+8; б) f(x)=2-|x|; в) f(x)=4+2sin5x; г) ;

д) .

Ответ: д) [0;1].

4.1.11. Установить, какие из следующих функций четные, нечетные, общего вида:

а) f(x)=x2+5x4; б) f(x)=xcosx; в) f(x)=tgx2; г) f(x)=|x-2|.

Ответ: а) чет.; б) нечет.; в) чет.; г) общего вида.

4.1.12. Найти значение функции f(22), если известно, что y=f(x) – нечетная функция с периодом 12 и на отрезке [0;6] функция имеет вид у=36х4-х2.

Ответ: -572.

4.1.13. Построить графики следующих функций:

а) y=x2-4x-5; б) y=log2(x-1)+3; в) .
§4.2. Предел функции. Замечательные пределы.

Непрерывность функции
Пусть функция f(x) определена в некоторой  - окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а.

Число b называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует число >0, такое, что |f(x)-b|< при 0<|x-a|<.

Предел записывается как =b.

Можно сформулировать следующие свойства пределов:

  1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине, то есть , где с – const.

  2. Пусть u(x) и v(x) являются функциями аргумента х и их пределы существуют. Тогда .

  3. .




Замечательные пределы
Первый замечательный предел:



^ Второй замечательный предел:


Непрерывность функции
Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если она определена в точке а или в некоторой окрестности этой точки и =f(a).

Можно сформулировать четыре условия непрерывности:

  1. f(x) должна быть определена в окрестности точки а;

  2. должны существовать конечные односторонние пределы и ;

  3. односторонние пределы должны быть одинаковыми;

  4. пределы должны быть равны значению функции в точке а, то есть = =f(a).


Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [x1;x2], если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка, а на границах выполняются условия: =f(x1), = f(x2).

Элементарные функции непрерывны во всех точках их области определения.

Разрывы функции
Функция f(x) имеет разрыв в точке а, если она определена слева, и справа от точки а, но в точке а не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности.

Различают два основных вида разрыва:

  1. Разрывы I рода – а) оба односторонних предела существуют и конечны, но не равны между собой, то есть . Такой разрыв называется скачком; б) оба односторонних предела существуют, конечны, равны между собой, но не равны значению функции в точке а, то есть = f(x). Этот предел называется устранимым.

  2. Разрыв II рода – хотя бы один из односторонних пределов равен ∞.

_______________
4.2.1. Найти пределы следующих функций: а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) 7; б) 1; в) 1; г) 1.

4.2.2. Раскрыть неопределенность и вычислить пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

Ответ: а) -6; б) 1; в) 1/2; г) ; д) 2; е) -1/2.

4.2.3. Раскрыть неопределенность и найти пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Ответ: а) 1/2; б) -5; в) 0; г) ∞; д) 3.

4.2.4. Раскрыть неопределенности ∞-∞ и 0∞:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответ: а) 1,5; б) 0,5; в) 0; г) -2.

4.2.5. Вычислить пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) .

Ответ: а) 4; б) 2; в) ; г) 1; д) -1/2; е) 2,25; ж) 1; з) -8.

4.2.6. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; ж) .

Ответ: а) е-5; б) е-1/3; в) е4; г) е2; д) е-2; ж) е3.

4.2.7. Найти точки разрыва и построить графики функции:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответ: а)II; б) II; в) II; г) I.

4.2.8. Подобрать значения  таким образом, чтобы функции были бы непрерывными:

а) ; б) .

Ответ: а) =1; б) не сущ. такого .

_________________
4.2.9. Найти пределы следующих функций:

а) ; б) .

Ответ: а) 6; б) 0.

4.2.10. Раскрыть неопределенность :

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответ: а) 2/5; б) 4/3; в) 1/20; г) 1,6.

4.2.11. Раскрыть неопределенность :

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответ: а) -1/4; б) 2; в) ∞; г) 1/2.

4.2.12. Раскрыть неопределенности ∞-∞ и 0∞:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а)0; б)0; в)0; г)0.

4.2.13. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) 1/3; б) 8; в) -2; г) 2/5.

4.2.14. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) е6; б)е-3/2 ; в) 1/е2; г)е.

4.2.15. Найти точки разрыва и построить графики функций:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответ: а) II; б) I - устранимый; в) II; г) I – рода.

4.2.16. Найти  таким образом, чтобы следующие функции были непрерывными:

а) ; б) .

Ответ: а) =2; б) =16/π.
§4.3. Дифференцирование функций.

Основные формулы дифференцирования
1) с′=0, где с – const; 2) (хn)′ = nxn-1;

3) (ax)′=axlna; 4) (ex)′=ex ;

5) (lgax)′=  ; 6) (lnx)′=  ;

7) (sinx)′=cosx; 8) (cosx)′=-sinx;

9) (tgx)′=  ; 10) (ctgx)′=  ;

11) (arcsinx)′=  ; 12) (arccosx)′=  ;

13) (arctgx)′= ; 14) (arcctgx)′= .
Основные правила дифференцирования
Пусть u=u(x), v=v(x). Тогда

1) (u(x)v(x))=u(x) v(x);

2) (u(x) v(x))=u(x)v(x)+u(x) v(x);

3) ;

4) (cf(x))′=cf′(x).

Правило дифференцирования сложной функции y=f(u), если u=u(x), состоит (f(u(x)))′=f(u)u(x).

4.3.1. Найти производные следующих функций:

1) f(x)=3x2-5x+1; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) y=x2sinx;                                   12) ;

13)  ; 14)  ;

15) y=xarcsinx ; 16)  ;

17)  ; 18)  ;

19) y=xlnx ; 20)  ;

21)  ; 22) y=(sinx)log5;

23) y=2x+10; 24)  ;

25) y=excosx ; 26)  ;

27) y=(x2-10x+5)10 ; 28)  ;

29)  ; 30)  ;

31) y=sin2x+cos5; 32) y=tgx2+ctgx;

33) y=sin2x-3cos3; 34) y=tg35;

35) y=3sin2(2x+5) ; 36)  ;

37)  ; 38) y=ln(1-2x) ;

39)  ; 40)  ;

41)  ; 42) y=(sinx)cosx ;

43) y=(x+5)2/x ; 44) y=(x2+1)sinx ;
4.3.2. Найти производные ух неявных функций:

1) х2-5ху+8у3=5; 2) ;

3) l2x+l3y-5xy=0; 4) lxsiny+lycosx= ;

5) y-x=arctgy ; 6) .

______________________
4.3.3. Найти производные следующих функций:

1) y=x4-4x3+0,5x2-2x+3; 2) ;

3) ; 4) y=(x2+5x)sinx;

5) ; 6) y=(2x+5);

7) ; 8) ;

9) ; 10) y=ln(5-2x2);

11) y=lncos5; 12)  ;

13)  ; 14)  ;

15)  ; 16) y=sin23x+sin9x;

17)  ; 18) .

4.3.4. Найти производные ух неявных функций:

1) у2+х2=lnxy; 2) xsiny+ysinx=0.
1   2   3   4   5   6

Похожие:

Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к изучению дисциплины, планы семинарских занятий,...
Нятий, методические рекомендации по подготовке к семинарскому занятию, выполнению самостоятельной работы и зачёту для студентов 1-го...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по выполнению практических занятий для студентов...
Теория электрических цепей: Методические указания по выполнению практических занятий / В. Р. Комельков. Екатеринбург: Уртиси гоу...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к семинарским занятиям для студентов 4 курса...
Английский язык [Текст] + [Электронный ресурс]: методические указания к семинарским занятиям для студентов 4 курса очной формы обучения...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconУчебный курс «Психология и педагогика»
Психология и педагогика: методические указания к семинарским и практическим занятиям для студентов технических специальностей очной...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по выполнению контрольной работы для студентов...
Методические указания предназначены для студентов фармацевтических вузов заочной формы обучения
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по организации самостоятельной работы и аудиторных...
Методические указания предназначены для студентов первого курса, обучающихся на специальности 141403. 65 «Атомные станции: проектирование,...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к выполнению практических занятий для студентов...
Методические указания к выполнению практических занятий для студентов всех форм обучения специальности 080105 – «Финансы и кредит»...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к выполнению практических занятий для студентов...
Методические указания к выполнению практических занятий для студентов всех форм обучения специальности 080105 – «Финансы и кредит»...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconРасписание учебных занятий студентов 4 курса очной формы обучения...

Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconРасписание учебных занятий студентов 4 курса очной формы обучения...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница