Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр)


НазваниеМетодические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр)
страница6/6
Дата публикации07.03.2013
Размер1.2 Mb.
ТипМетодические указания
userdocs.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4   5   6
§4.4. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
Пусть дана функция y=f(x). К графику этой функции (рис.5) проведена касательная в точке М0(х0;у0). Угловой коэффициент касательной в точке М0 равен значению производной функции f(x) в точке х0, то есть k=tg=f(x0).

Уравнение касательной, проходящей

через точку М0(х0;у0), имеет вид:

у-у0= f(x0)(х-х0).

Прямая, перпендикулярная к

касательной и проходящая через

точку М0, называется нормалью.

Уравнение нормали в точке М0(х0;у0):

у-у0= (х-х0).

_________________

4.4.1. Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в заданной точке:

а) у=х2-4х+3, х0=-1; б) у=х2е-х, х0=1;

в) у=-х2+6х-5

в точках пересечения с осью ОY.

Ответ: а) у=-6х+2; б) ; в) у=6х-5;

; у=-е+е+ ; -5.

4.4.2. В каких точках касательные к кривой параллельны прямой у=2х-1?

Ответ: (3;-2); (-1; 2/3).

4.4.3. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х0=-1.

Ответ: 4,5.

4.4.4. Через точку М(1;1) походят две касательные к графику функции f(x)=2x2+4x+3. Найти сумму абсцисс точек касания.

Ответ: 2.

4.4.5. Написать уравнения касательных к окружности х2+у2+4х-4у+3-0 в точках пересечения ее с осью ОХ. Построить окружность и касательные.

Ответ: 2у=-х-3; 2у=х+1.

4.4.6. Найти точки пересечения нормали гиперболы х2-у2=9, проведенной из точки М(5;4) с асимптотами.

Ответ: ; (40;40).

_____________
4.4.7. Написать уравнения касательной и нормали к кривым:

а) у=х3, х0= -2; б) у=2х-х2 в точках пересечения кривой с осью ОХ;

в) у=2х2-5, у=х2-3х+5 в точках пересечения этих кривых.

Ответ: а) у=12х+24; б) у=2х; у=-2х+4;

; ; ;

в) у=8х-16; у= ; у=-20х-100; у= ; у=х-2; у= -х+2; у= -13х-65; у= .

4.4.8. В каких точках касательные к кривой перпендикулярны к прямой у=2х-5?

Ответ: (0;-1); (-2;3).

4.4.9. Написать уравнения касательных к астроиде х2/3+у2/3=а2/3 в точках пересечения ее с прямой у=х.

Ответ: .
§4.5. Производные высших порядков.

Правила Лопиталя
Пусть дана функция y=f(x); производная от этой функции y=f(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции y=f(x), которая обозначается как y" или f"(x)= .

Аналогично определяются производные более высокого порядка f (n)(x)= .

Правила Лопиталя

Первое правило. Неопределенность .

Если , то .

Второе правило. Неопределенность .

Если , то .

Неопределенности вида 0∞; ∞-∞; 1;00 сводятся к неопределенностям , путем алгебраических преобразований.

______________
4.5.1. Найти производные второго порядка:

а) y=cos2x; б) y=arctgx; в) ;

г) ; д) .

4.5.2. Найти f'(0), f"(0), f"'(0) если f(x)=e2xsin3x.

4.5.3. Вывести формулу для производной n – го порядка для функций:

а) y=xm; б) у=ах.

Ответ: а) у (n)=m(m-1)(m-n+1)xm-n. б) y(n)=ax(lna)n.

4.5.4. Найти пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

Ответ: а) ; б) 1; в) ∞; г) 1/2; д) 1; е)1; ж) 1; з)0; и) 1; к)1.

_________________
4.5.5. Найти производные второго порядка:

а) у=(х2-10х+5)5; б) y=sin2x;

в) ; г) у=ln(x3-2x2+4).

4.5.6. Найти выражение для n-й производной следующих функций:

а) у=3х; б) у=cosx; в) y=sin2x.

4.5.7. Найти пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

Ответ: а) 1; б) 0; в)0; г)10; д) -1/3; е)∞; ж) -1; з) 1; и) 1; к)1.
§4.6. Монотонность функций. Экстремумы.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Функция f(x) называется возрастающей в точке х0, если в некоторой  - окрестности этой точки f(x0-h)<f(x0)<f(x0+h).

Убывающей – если f(x0+h)<f(x0)<f(x0-h), где 0<h<.

Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a,b], если для любых х1 и х2 этого отрезка из неравенства х1>х2 следует неравенство f(х1)>f(х2). Если же из неравенства х1>х2 следует, что f(х1)<f(х2), то функция f(x) – убывающая на отрезке [a,b].

Можно сформулировать достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x)

Если y'>0 для всех х[a,b], то функция возрастает на [a,b]; при y'<0 для х[a,b], то функция на [a,b] убывает.

Функция f(x) может иметь экстремум лишь в тех точках, в которых f'(x)=0 или не существует. Такие точки называются критическими, или стационарными, или подозрительными на экстремум. Равенство нулю первой производной данной функции является необходимым условием существования экстремума.

В качестве достаточного условия существования экстремума в критической точке х0 можно принять смену знака первой производной при переходе через критическую точку, при этом, если знак меняется с + на -, то в точке х0 – максимум, если с – на + , то в точке х0 – минимум.

Если производная y' знак не меняет при переходе через точку, подозрительную на экстремум, то экстремума в этой точке нет.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функций у=f(x) на отрезке [a,b] необходимо найти критические точки, принадлежащие [a,b]. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. Из всех найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

__________________
4.6.1. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) у=2-3х+х3; б) у=хе-х;

в) у=(х-2)2(х+2); г) y=ln(x2-2x+4).

Ответ: а) (-∞;-1)(1;∞) – возрастает; (-1;1) – убывает;

б) (-∞;1) – возрастает; (1;∞) – убывает;

в) (-∞;-1)(1;∞) – возрастает; (-1;1) – убывает;

г) (-∞;1) – убывает; (1;∞) – возрастает;

4.6.2. Найти экстремумы функций:

а) ; б) y=ln(x2+1);

в) ; г) у=(х-1)6/7.

Ответ: а) уmin=y(0)=0; ymax= ;

б) уmin=y(0)=0;

в) уmax=y(1)= ; ymin= ;

г) уmin=y(1)=0.

4.6.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданном отрезке:

а) у=х4+2х2+5, х[-2,2]; б) , х[-6,8];

в) , х[0,4]; г) y=2tgx-tg2x, х[0,π/2].

Ответ: а) 29,5; б) 10; 6; в) 3/5; -1; г) унаиб=1.

_______________
4.6.4. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) у=(2-х)(х+1)2; б) у=х3-6х+5;

в) у=х+е-х; г) y=xlnx.

Ответ: а) (-∞;-1)(1;∞) – убывает; (-1;1) – возрастает;

б) (-∞;-2)(2;∞) – возрастает; (-2;2) – убывает;

в) (-∞;0) – возрастает; (0;∞) – убывает;

г) (0;1/е) – убывает; (1/е;∞) – возрастает.

4.6.5. Найти экстремумы функций:

а) ; б) .

Ответ: а) ymax=y(11/4)=13/4; б) ymin=y(e)=e.

4.6.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:

а) , х[0,4]; б) , х[0,1];

в) , х[0,1].

Ответ: а) 8;0; б) 1; 3/5; в) π/4; 0.
§4.7. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции.

Точки перегиба. Асимптоты
Кривая называется выпуклой в точке х=х0, если в некоторой окрестности этой точки кивая расположена под касательной, проведенной в этой точке (рис.6а), если же кривая лежит над касательной, то функция называется вогнутой (рис.6б).
В качестве достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функций можно принять следующие: если y">0, то кривая вогнутая, если y"<0, то кривая выпуклая.

Точкой перегиба называется точка, разделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости. Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю второй производной от функции, достаточным – изменение знака второй производной при переходе через точку, подозрительную на точку перегиба.

Пусть имеется кривая, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой по мере удаления точки кривой в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой графика кривой.

Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная.

Пусть y=f(x), а – точка разрыва функции или граничная точка области определения.

Если , то прямая х=а есть вертикальная асимптота.

Если , то прямая х=b – горизонтальная асимптота.

Наклонная асимптота имеет вид у=kx+b, где ; .

Замечание. Пределы при х∞, х-∞ находятся отдельно.
Алгоритм полного исследования функции y=f(x)


  1. Найти область определения функции; точки разрыва.

  2. Найти асимптоты графика функции.

  3. Определить четность, нечетность, периодичность функции.

  4. Установить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

  5. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

  6. Найти точки пересечения графика с осями координат.

  7. При необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках.

___________________
4.7.1. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) у=х5-5х-6; б) у=(х-5)5/3+2;

в) у=хех; г) у=х4-8х3+24х2.

Ответ: а) (-∞;0) – выпуклая; (0;∞) – вогнутая;

б) р(5;2) – точка перегиба;

в) (-∞;-2) – выпуклая; (-2;∞) – вогнутая;

г) точек перегиба нет.

4.7.2. Найти асимптоты графика функций:

а) ; б) ;

в) ; г) y=-xarctgx.

Ответ: а) х=-2, у=3; б) х=1, х= -6, у=0; в) у=х-6;

г)

4.7.3. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) уmin(2)=3; асимптоты у=х, х=0;

б) уmin(23)=33, уmax(-23)= -33; (0;0) – точка перегиба; х=2, у=х – асимптоты;

в) уmax(е2)=2/е, у=0 – асимптоты;

г) уmax(1)=е.

4.7.4. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) ; б) ;

в) y=ln|x|; г) .

Ответ: а) (2;-8/3); б) ; в) точек перегиба нет;

г) .

4.7.8. Найти асимптоты графиков функций:

а) ; б) y=x-arctgx;

в) .

Ответ: а) х=0; у=1; б) ; в) у=2х; х=0.

4.7.9. Исследовать функции и построить графики:

а) ; б) .

Ответ: а) у=-х – наклонная асимптота; б) уmin(6)=13,5; (0;0) – точка перегиба; х=2; у=х+4 – асимптоты.
§4.8. Параметрически заданные функции.

Векторная функция скалярного аргумента.

^ Кривизна плоской кривой
Пусть даны две функции переменной величины , рассматриваемые для одних и тех же значений t. Эти уравнения на плоскости задают некоторую кривую. Так как переменная t называется параметром, то и приведенная система называется параметрическим уравнением кривой.

Если , то , а .

Пусть теперь некоторая кривая задана в пространстве R3 своими параметрическими уравнениями: . Тогда каждому значению t можно поставить в соответствие вектор , который называется векторной функцией скалярного аргумента t. Линия с, описываемая концом радиуса – вектора , называется годографом.

Если рассматривать как траекторию движения материальной точки в пространстве, то законы изменения скорости и ускорения движения этой точки имеют вид:



Пусть задана плоская кривая уравнением y=f(x). Величина определяет ее кривизну.

Радиус кривизны есть . Для параметрически заданной кривой .

________________
4.8.1. Найти , если x=arccost, y=arcsint.

Ответ: .

4.8.2. Исключить параметр t из уравнений x=acost, y=bsint. Построить кривую.

Ответ: .

4.8.3. Траектория движения материальной точки задана уравнением . Найти закон изменения скорости движения. Построить траекторию и векторы скорости при t=0; t=1.

Ответ: .

4.8.4. Определить кривизну кривой при t=1.

Ответ: .
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Бугров, Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: учеб. для вузов./ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2003.

  2. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: учеб. для инж.-техн. спец. вузов./ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2005.

  3. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. – 2-е изд. – М.: Астрис-пресс, 2003. – Ч.1.

  4. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов/ В.П. Минорский. – М:физ.мат.лит., 2004.

  5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.:Оникс 21 век; Мир и образование, 2005. – Ч.1.



1   2   3   4   5   6

Похожие:

Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к изучению дисциплины, планы семинарских занятий,...
Нятий, методические рекомендации по подготовке к семинарскому занятию, выполнению самостоятельной работы и зачёту для студентов 1-го...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по выполнению практических занятий для студентов...
Теория электрических цепей: Методические указания по выполнению практических занятий / В. Р. Комельков. Екатеринбург: Уртиси гоу...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к семинарским занятиям для студентов 4 курса...
Английский язык [Текст] + [Электронный ресурс]: методические указания к семинарским занятиям для студентов 4 курса очной формы обучения...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconУчебный курс «Психология и педагогика»
Психология и педагогика: методические указания к семинарским и практическим занятиям для студентов технических специальностей очной...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по выполнению контрольной работы для студентов...
Методические указания предназначены для студентов фармацевтических вузов заочной формы обучения
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания по организации самостоятельной работы и аудиторных...
Методические указания предназначены для студентов первого курса, обучающихся на специальности 141403. 65 «Атомные станции: проектирование,...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к выполнению практических занятий для студентов...
Методические указания к выполнению практических занятий для студентов всех форм обучения специальности 080105 – «Финансы и кредит»...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconМетодические указания к выполнению практических занятий для студентов...
Методические указания к выполнению практических занятий для студентов всех форм обучения специальности 080105 – «Финансы и кредит»...
Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconРасписание учебных занятий студентов 4 курса очной формы обучения...

Методические указания и задачи к выполнению практических занятий для студентов I курса очной формы обучения инженерно технических специальностей (I семестр) iconРасписание учебных занятий студентов 4 курса очной формы обучения...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница