По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801


НазваниеПо курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801
страница6/7
Дата публикации19.06.2013
Размер0.92 Mb.
ТипМетодические указания
userdocs.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4   5   6   7

Аналитический метод определения защитных смешанных стратегий применим для игр размера 2×2. Для платежной матрицы A такой игры



максимум минимального (гарантированного) выигрыша для 1-го игрока достигается при выполнении . К этому соотношению добавляется еще условие нормировки . Таким образом, защитная смешанная стратегия X0 является решением системы уравнений


При этом .

Аналогично, для 2-го игрока защитная смешанная стратегия Y0 является решением системы уравнений

При этом

Для определения защитных смешанных стратегий в случае игр размерности m×n, где m >2, n >2, применяют метод, основанный на сведении игры к задаче ЛП.

Предварительно (в случае необходимости) платежная матрица A должна быть преобразована к виду, чтобы все ее элементы были положительны. Этого можно добиться, прибавляя ко всем элементам матрицы одно и то же положительное число K, т.е.

При этом цена игры увеличится на K, т.е.


а пара защитных смешанных стратегий не изменится.

Для 1-го игрока составляют задачу ЛП вида
(3.2)

где

Для 2-го игрока составляют задачу ЛП вида
(3.3)

где

Задачи (3.2) и (3.3) образуют двойственную пару задач ЛП. Симплекс-методом проще решать задачу (3.3) для 2-го игрока. По итоговой симплекс-таблице задачи (3.3) находят оптимальное решение W0 для 2-го игрока (в столбце свободных членов) и оптимальное решение T0 для 1-го игрока (в целевой строке). Оптимальное значение целевой функции L0 определяет цену игры Затем определяют защитную пару смешанных стратегий и цену u=v исходной игры



Алгоритм определения защитных смешанных стратегий методом ЛП заключается в следующем:

1. Платежную матрицу A (в случае необходимости) преобразовывают к виду, содержащему только положительные элементы.

2. Составляют задачу (3.2) для 1-го игрока и задачу (3.3) для 2-го игрока.

3. Решают симплекс-методом задачу (3.3).

4. По итоговой симплекс-таблице находят оптимальное решение W0 задачи (3.3), оптимальное решение T0 задачи (3.2) и

5. Определяют защитные смешанные стратегии и цену исходной игры u=v.

Пара смешанных стратегий называется уравновешенной, если для любых X и Y выполняется

Решением антагонистической игры в смешанных стратегиях называется уравновешенная пара стратегий.

Поскольку в классе смешанных стратегий защитная пара стратегий всегда является уравновешенной, то решением антагонистической игры в смешанных стратегиях является уравновешенная пара защитных стратегий.

В связи с вышеизложенным к алгоритму решения антагонистической игры, приведенному в параграфе 3.1, следует добавить п. 4.

4. Находят цену игры в смешанных стратегиях u=v и защитную пару смешанных стратегий, являющуюся решением игры в смешанных стратегиях.
Задачи
3.4. Каждый из двух игроков одновременно выбирает одно из чисел: 1 или 2. Если 1-й игрок выбрал 1 и числа совпали, он проигрывает 2 рубля; не совпали – игра завершается вничью. Если 1-й игрок выбрал 2 и числа совпали, он проигрывает 1 рубль; не совпали – он выигрывает 2 рубля. Составить игру в матричной форме и найти ее решение а) графическим методом, б) аналитическим методом.

3.5 У каждого из двух игроков по две монеты: 1 рубль и 2 рубля. Оба одновременно выкладывают по одной из них на стол. Если достоинство монет совпало, то выложенные деньги забирает 1-й игрок; если не совпало – 2-й игрок.

Составить игру в матричной форме и найти ее решение а) графическим методом, б) аналитическим методом, в) методом ЛП.

3.6. В игре на совпадение сторон монеты два игрока одновременно выбирают герб или цифру. Пусть результаты совпали: если 1-й игрок выбрал герб, то он выигрывает 2 рубля; если цифру, то он выигрывает 1 рубль. Пусть результаты не совпали: если 2-й игрок выбрал герб, то он выигрывает 1 рубль; если цифру, то он выигрывает 3 рубля.

Составить игру в матричной форме и найти ее решение а) графическим методом, б) аналитическим методом.
^ 3.3. Игры в позиционной форме
Матричная форма представления игры используется в случае, когда игроки одновременно выбирают стратегии, получают выигрыши и на этом игра заканчивается. Для многоходовых игр, когда игроки делают ходы (выбирают стратегии) поочередно, наиболее естественной является позиционная форма представления игры.

Игра в позиционной форме представляется деревом игры – графом, вершины которого соответствуют состояниям игры (позициям), а ребра – возможным вариантам ходов в этих позициях.

Дерево игры строится по следующим правилам:

1. Задается начальная вершина – исходная позиция игры.

2. Из вершин проводятся ребра, оканчивающиеся вершинами, обозначающими новые позиции.

3. Определяется совокупность конечных вершин, в которых правилами предусматривается окончание игры. У каждой конечной вершины записывается число, определяющее выигрыш 1-го игрока (проигрыш 2-го игрока).

Обозначим через Si множество вершин (позиций), в которых очередь хода принадлежит i-му игроку. Вершины из множества Si нумеруют с помощью надстрочных индексов, т.е.



^ Чистой стратегией i-го игрока называют правило, ставящее в соответствие каждой вершине из множества Si определенный выбор (альтернативу) хода. Согласно определению, одна чистая стратегия i-го игрока дает ему правило поведения во всех вершинах из множества Si. Если множество Si состоит из r вершин и количество альтернатив для вершин равно tl, то общее число чистых стратегий определяется произведением .

Как только оба игрока выберут свои стратегии, то ход игры становится полностью определенным и игрокам остается только получать выигрыши. Правилами игры могут быть предусмотрены некоторые случайные действия. Исход в такой игре будет случайным. Полезность такого исхода следует оценивать математическим ожиданием выигрыша.

Введение чистых стратегий позволяет свести игру в позиционной форме к матричной форме и применить к играм в позиционной форме все достижения теории матричных игр.
Задачи
3.7. Сначала 1-й игрок выбирает число 1 или число 2, затем 2-й игрок выбирает число 3 или число 4, затем случайным образом выбирается число 1 (с вероятностью 0,4) или число 2 (с вероятностью 0,2) или число 3 (с вероятностью 0,4). Если полученная сумма окажется нечетной, то такую сумму денег выигрывает 1-й игрок; если четной, то − 2-й игрок.

Составить игру в позиционной форме и найти ее решение.

3.8. Рассмотреть задачу 3.7 при условии, что сначала игроки одновременно выбирают числа, а затем выполняется случайный ход.

Составить игру в матричной форме и найти ее решение.
^ 3.4. Неантагонистические игры

(некооперативный вариант)
На практическом занятии рассматриваются неантагонистические игры в матричной форме. В отличие от антагонистических игр в данном случае используется не одна, а две платежные матрицы (поэтому такие игры часто называют биматричными).

Существуют два варианта игр с нестрогим соперничеством: некооперативный и кооперативный. При некооперативном варианте запрещено любое сотрудничество между игроками, каждый из которых принимает решение независимо от другого.

Если 1-й игрок применяет смешанную стратегию

,

а 2-й игрок – смешанную стратегию



то математическое ожидание выигрыша 1-го игрока будет равно



а математическое ожидание выигрыша 2-го игрока будет равно



В условиях неантагонистического конфликта при поиске решения также следует придерживаться принципов осторожности и уравновешенности. Принцип осторожности приводит, как и ранее, к понятию защитных стратегий.

Защитная стратегия 1-го игрока − это стратегия, максимизирующая его средний гарантированный выигрыш:



Защитная стратегия 2-го игрока − это стратегия, максимизирующая его средний гарантированный выигрыш:



Поскольку выигрыш 2-го игрока рассчитывается по его платежной матрице ^ В, то для выбора защитной стратегии 2-й игрок также использует критерий максимина.

Пару чисел (u,v) можно рассматривать как точку двумерного евклидова пространства. Точка (u0,v0), соответствующая защитным стратегиям X0, Y0, называется точкой status quo.

Наличие в неантагонистической игре двух платежных матриц приводит к следующей модификации понятия уравновешенной пары стратегий.

Пара (X*,Y*) смешанных стратегий называется уравновешенной, если для любых X и Y выполняется



Алгоритм проверки пары стратегий (X*,Y*) на уравновешенность для игры 2×2 заключается в следующем:

1. Вычисляют

2. Используя выражение с учетом условия нормировки x1+x2=1, находят вид функциональной зависимости u(x1).

3. Проверяют выполнение условия

u(x1)≤ u(X*,Y*)

для всех x1, принадлежащих отрезку [0,1].

Если условие выполняется, то продолжают проверку.

Если условие не выполняется, то стратегии (X*,Y*) не являются уравновешенными.

4. Вычисляют

5. Используя выражение с учетом условия нормировки y1+y2=1, находят вид функциональной зависимости v(y1).

6. Проверяют выполнение условия

v(y1)≤ v(X*,Y*)

для всех y1, принадлежащих отрезку [0,1].

Если условие выполняется, то стратегии (X*,Y*) являются уравновешенными.

Если условие не выполняется, то стратегии (X*,Y*) не являются уравновешенными.

В данном случае уравновешенные пары не являются защитными, а защитные пары не являются уравновешенными. Более того, в игре может оказаться несколько уравновешенных пар и все они приводят к разным результатам (к разным парам (u, v)).

Таким образом, в некооперативном варианте игры с нестрогим соперничеством не удается сформулировать понятия решения, основанного на идее равновесия. Теория рекомендует в играх такого типа пользоваться защитными стратегиями, гарантирующими игрокам положение status quo.
Задачи
3.9. Игра с нестрогим соперничеством задается платежными матрицами


Найти защитные стратегии а) графическим методом, б) аналитическим методом. Проверить, является ли защитная пара стратегий уравновешенной.

3.10. Проверить для условий задачи 3.9, является ли уравновешенной пара стратегий X′=(2/5,3/5) и Y′=(3/5,2/5).

3.11. Проверить для условий задачи 3.9, является ли уравновешенной пара стратегий X″=(1,0) и Y″=(1,0).

^ 4. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Модели управления запасами относятся к классу оптимизационных моделей. В качестве критерия эффективности используется критерий минимума суммарных затрат в единицу времени. При этом суммарные затраты в общем случае включают затраты на приобретение продукции, затраты на оформление заказа, затраты на хранение запаса и потери от дефицита (везде речь идет о затратах в единицу времени). Основные типы моделей управления запасами определяются прежде всего характером спроса. Соответствующая классификация моделей приведена на рис. 4.1.

Рис. 4.1
1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconМетодические указания по проведению практических занятий и выполнению...
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и выполнения домашних заданий по дисциплине «Экономико-математические...
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconКлючевые понятия 54 Контрольные вопросы 55
К65 Математические методы исследования операций в экономикеЎєспб: Питер, 2000. ЎЄ 208 с.: ил. ЎЄ (Серия «Краткий курс»)
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconПрограммные вопросы по курсу «Психология» для студентов специальности...
История предмет, структура педагогической психологии ее задачи и методы исследования
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconПлан семинарских занятий
Для студентов 4 курса очного отделения, обучающихся по специальности «математические методы в экономике»
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconМетодические указания к лабораторным работам по курсу рспсит для...
Методические указания к лабораторным работам по курсу рспсит для специальности 080801. 65-Прикладная информатика в экономике
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconДисциплина «Методология и методы психологического исследования» для...
Классификация методов психологического исследования (Классификация Пирьова; Б. Г. Ананьева; М. С. Роговина и Г. В. Залевского; В....
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconСеминар №2 по дисциплине «Методология и методы психологического исследования»...
Проблемная ситуация и проблема исследования. Требования к формулированию проблемы научного исследования
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconРабочая программа дисциплины математические методы в исторических исследованиях
Целью освоения дисциплины Математические методы в исторических исследованиях является формирование целостного, системного представления...
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 icon1. Понятие о науке а/х и методы исследования, которыми она располагает
Математические методы используют для проверки точности опытов и установлении достоверности полученных результатов. Выявления кариляционных...
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconПрограмма междисциплинарного экзамена по специальности 080801. 65...
Охватывает вопросы ряда специальных дисциплин, предусмотренных учебным планом вэпи по данной специальности и позволяет оценить качество...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница