По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801


НазваниеПо курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801
страница7/7
Дата публикации19.06.2013
Размер0.92 Mb.
ТипМетодические указания
userdocs.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4   5   6   7

^ 4.1. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Для всех рассматриваемых на практическом занятии детерминированных статических моделей характерны:

− постоянный во времени спрос,

− мгновенное пополнение запасов,

− отсутствие дефицита (при этом потери от дефицита равны нулю).

Простейший из детерминированных статических моделей является однопродуктовая статическая модель. Суммарные затраты F(Q) в единицу времени для данной модели составляют



где ^ Q − размер заказа (ед. пр.),

c − стоимость (цена) единицы продукции (д.е./ед.пр.),

β − интенсивность спроса (ед.пр./ед.вр.),

К − затраты на оформление заказа (д.е.)

h − затраты на хранение единицы продукции в единицу времени (д.е./(ед.пр.×ед.вр.)).

Оптимальная величина размера заказа определяется из соотношения

(4.1)

Выражение (4.1) называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.

Таким образом, оптимальная стратегия модели предусматривает заказ Q* единиц продукции через каждые единиц времени. При этом минимальные затраты в единицу времени составляют F*=F(Q*).

В предыдущей модели цена единицы продукции не влияла на оптимальный размер заказа Q*, поскольку была постоянна. Следовательно, удельные затраты на приобретение были постоянны и не зависели от размера заказа. Однако нередко цена единицы продукции зависит от размеров закупаемой партии.

К такому случаю относится однопродуктовая статистическая модель с «разрывами» цен. Здесь считается, что если размер заказа достигает некоторой величины, то предоставляются оптовые скидки. Таким образом,

цена единицы продукции =

где q − размер заказа, при достижении которого предоставляется скидка.

Очевидно, что c1>c2.

В данном случае суммарные затраты в единицу времени при Q<q равны



При Qq эти затраты составляют



Графики этих двух функций приведены на рис.4.2, где





Рис. 4.2
Из вида функций затрат F1(Q) и F2(Q), приведенных на рис. 4.2, следует, что оптимальный размер заказа Q* зависит от того, в какую из трех показанных на рис. 4.2 зон I, II или III попадает точка разрыва цены q. Эти зоны находятся в результате определения q1 (q1>Qm) из уравнения F1(Qm)=F2(q1).

Так как значение Qm известно, то решение уравнения дает значение величины q1. Тогда зоны определяются следующим образом:

Зона I: 0≤Q<Qm,

Зона II: QmQ<q1,

Зона III: q1Q.

В результате оптимальный размер заказа Q* определяется следующим образом:



Алгоритм определения оптимального размера заказа Q* заключается в следующем:

1. Вычисляют

2. Проверяют условие попадания q в зону I

q<Qm.

Если условие выполняется, то полагают Q*=Qm.

Если условие не выполняется, то переходят к п.3.

3. Определяется q1 из уравнения F1(Qm)=F2(q1).

4. Проверяют условие попадания q в зону II

q<q1.

Если условие выполняется, то полагают Q*=q.

Если условие не выполняется, то полагают Q*=Qm.

На практическом занятии рассматривается также многопродуктовая статическая модель с ограничениями на емкость складских помещений. Эта модель предназначена для системы управления запасами, включающей n>1 видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади. Данное условие определяет взаимосвязь между различными видами продукции и должно быть включено в модель как ограничение.

Суммарные затраты в единицу времени по продукции каждого вида будут теми же, что и в случае эквивалентной однопродуктовой модели, т.е.



Поскольку слагаемое ciβi от Qi не зависит, то при составлении и решении задачи оптимизации его можно не учитывать (для упрощения вида целевой функции). Таким образом, модель задачи оптимизации имеет вид



где ai, – площадь, необходимая для хранения единицы продукции i-го вида,

^ А − площадь склада для n видов продукции.

Для решения этой задачи используется обобщенный метод множителей Лагранжа. В соответствии с методом
(4.2)
т.е. зависит от оптимального значения λ* множителя Лагранжа λ. Значение λ* можно найти методом проб и ошибок, последовательно проверяя положительные значения λ. В результате определения λ* из соотношения (4.2) получаются значения Qi*.

Алгоритм определения λ* и Qi* методом проб и ошибок заключается в следующем:

1. Задают Δ>0, полагают λ=0.

2. Определяют



3. Проверяют ограничение на емкость складских помещений



Если ограничение выполняется, то полагают Qi*=Qm,i,

Если ограничение не выполняется, то полагают λ=λ+Δ и переходят к п.2.

Величина ∆>0 определяется требуемой точностью вычислений.
Задачи
4.1. Ежедневный спрос на некоторую продукцию составляет 100 единиц. Стоимость единицы продукции составляет 0,4 д.е. Затраты на размещение заказа равна 100 д.е. Затраты на хранение единицы продукции составляют 0,6 д.е. в месяц.

Определить оптимальный размер заказа, оптимальный интервал времени между моментами размещения заказов и минимальные суммарные затраты в единицу времени.

4.2. Пусть при условиях задачи 4.1 предприятие ежедневно заказывает 100 единиц продукции. Определить разницу в дневных затратах при оптимальной и применяемой стратегиях.

4.3. Интенсивность потребления изделий составляет 5 единиц в день. Затраты на размещение заказа равны 10 д.е. Затраты на хранение одного изделия составляют 1 д.е. в день. Цена изделия равна 2 д.е., если размер заказа меньше 15 единиц, и 1 д.е. в противном случае.

Определить оптимальный размер заказа.

4.4. Рассматривается задача управления запасами для случая трех видов продукции. Исходные данные задачи представлены в таблице


i

βi

(ед.пр./ед.вр.)

Ki

(д.е.)

hi

(д.е./(ед.пр.×ед.вр.))

ai

2/ед.пр.)

1

2

10

0,3

1

2

4

5

0,1

1

3

3

15

0,2

1


Площадь склада составляет 25 м2.

Определить оптимальные размеры заказов (величину ∆ выбрать равной 0,1).
^ 4.2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
На практическом занятии рассматриваются N-этапные динамические модели, для которых предполагается:

− спрос известен, но он может меняться от этапа к этапу;

− пополнение запаса происходит мгновенно в начале этапа;

− дефицит отсутствует;

− после N этапов не остается неиспользованной продукции.

При описании этапа используются следующие величины:

Qiколичество заказанной продукции (размер заказа),

ξi потребность в продукции (спрос),

xiисходный запас (на начало этапа i),

hiзатраты на хранение единицы запаса, переходящей из этапа i в этап i+1,

Kiзатраты на оформление заказа,

Ci(Qi) – затраты на приобретение продукции в размере Qi,

Ui(Qi) – затраты на оформление заказа и приобретение продукции.

Затраты Ui(Qi) определяются следующим образом:
Ui(Qi) =δi Ki + Ci(Qi),

где


Затраты на хранение на i-м этапе предполагаются (с целью упрощения) пропорциональными объему запаса xi+1 и, следовательно, равными hi xi+1.

В данной задаче управления запасами требуется найти оптимальные значения Qi, минимизирующие общие затраты на оформление заказов, закупку и хранение по всем N этапам.

Рассматриваемую задачу удобно представить схематически (см. рис. 4.3).

Из приведенной схемы следует, что
xi+1 = xi + Qiξi, (4.3)


Рис. 4.3
Границы изменения (нижняя и верхняя) размера заказа Qi и объема запаса xi+1 определяются из соотношений
(4.4)

Qimin Qimax

(4.5)

xi+1,min xi+1,max
Значения ximin, ximax , используемые в приведенных выражениях, определяются на предыдущем ((i−1)-м) этапе.

Для решения поставленной задачи используется рекуррентное уравнение
(4.6)
(4.7)
где через обозначены минимальные общие затраты на этапах от 1 до i при заданной величине запаса xi+1 на конец этапа i.

Таким образом, процедура решения состоит из N этапов. На i-м, этапе определяются наборы значений и Qi для Результаты вычислений для каждого этапа заносят в таблицы, общий вид которых представляет табл. 4.1.

При этом для 1-го этапа заголовок таблицы имеет вид
.

Таблица 4.1


xi+1

hi xi+1



Оптим. решение







Qi,min

∙∙∙

Qi,max



Q*i







Ui(Qi,min)

∙∙∙

Ui(Qi,max)







xi+1,min

hi xi+1,min
















.

.

.

.

.

.
















xi+1,max

hi xi+1,max

















В строках выделенной части таблицы записывают значения величины при соответствующих данным строкам значениях xi+1. В последних двух клетках каждой строки записывают минимальное при заданном xi+1 значение затрат и значение Q*i, обеспечивающее этот минимум.

При вычислении для значения выбирают из столбца «Оптимальное решение» таблицы для предыдущего ((i−1)-го) этапа. При этом, используя выражение (4.3), определяют величину xi из соотношения



При заполнении таблицы для 1-го этапа (этапа определения из соотношения (4.6)) в каждой строке выделенной части таблицы будет одно число. Это объясняется следующим обстоятельством. Величина x2 определяется из соотношения



Поскольку x1 задано, ξ1 задано, то выбранное Q1 однозначно определяет x2.

Таким образом, алгоритм i-го, i=1,2,…,N, этапа заключается в следующем:

1. Используя соотношения (4.4) и (4.5), определяют границы изменения размера заказа Qi и объема запаса xi+1 (на 1-м этапе полагают x1min=x1max=x1, на N-м этапе – xN+1=0).

2. Строят таблицу для записи числовых результатов.

3. В выделенную часть таблицы построчно заносят результаты вычислений



Заполнив очередную строку, определяют для данного xi+1 величины и Qi*.

Полученные после N-го этапа затраты представляют собой минимальные общие затраты по всем N этапам, т.е. .

Вектор находится в результате обратного прохода по таблицам этапов.

Из таблицы для N-го этапа определяется . Для нахождения используются затраты , входящие в качестве слагаемого в затраты ; величина , соответствующая затратам , определяется из таблицы (N−1)-го этапа. Для нахождения используются затраты , входящие в качестве слагаемого в затраты найденные на предыдущем шаге; величина определяется из таблицы (N−2)-го этапа и т.д. Таким образом, компоненты вектора Q* находят по следующей схеме:

Рассмотренную детерминированную динамическую модель можно использовать при любых функциях затрат. Важным частным случаем этой модели является такой, когда на i-м этапе как затраты на приобретение, так и затраты на хранение на единицу продукции являются постоянными или убывающими функциями Qi и xi+1 соответственно.

При указанных условиях доказаны следующие положения (при исходном уровне запаса x1=0; если x1>0, то этот объем нужно вычесть из спроса первого и последнего этапов, пока он не исчерпается).

1. На любом этапе i произведение оптимальных значений исходного запаса и размера заказа должно быть равно 0, т.е.
(4.8)
2. На любом этапе i оптимальный размер заказа равен 0 или спросу одного или более последующих этапов, т.е.
(4.9)

При этом оптимальное значение объема запаса определяется из следующего множества возможных значений:


Поскольку x1=0, то из соотношения (4.9) следует, что

Благодаря приведенным положениям упрощается вычислительная схема. Число возможных значений как Qi, так и xi+1 определяется числом последующих этапов, а не количеством единиц продукции, требуемой на последующих этапах, как это имеет место в обычной модели. Кроме того, при заполнении таблиц не следует рассматривать наборы (Qi, xi), не удовлетворяющие условию (4.8), поскольку они заведомо не являются оптимальными. В результате объем вычислений весьма существенно сокращается.
Задачи
4.5. Для четырехэтапной динамической модели исходный запас для этапа 1 равен 4 ед. Спрос на этапах соответственно составляет 2 ед., 3 ед., 5 ед. и 4 ед. Определить множество возможных значений исходного запаса для этапов 2, 3 и 4 и множество возможных значений размера заказа на этапах 1, 2, 3 и 4.

4.6. Для трехэтапной динамической модели исходный запас для этапа 1 равен 1 ед. Спрос на этапах соответственно составляет 3 ед., 2 ед. и 4 ед. Затраты на размещение заказа на этапах соответственно равны 3 д.е., 7 д.е. и 6 д.е. Затраты на хранение единицы продукции в течение одного этапа соответственно составляют 1 д.е., 3 д.е. и 2 д.е. Цена единицы продукции равна 10 д.е. на всех этапах.

Определить оптимальные размеры заказов и минимальные суммарные затраты.

4.7. Для четырехэтапной динамической модели исходный запас для этапа 1 равен 15 ед. Спрос на этапах соответственно составляет 76 ед., 26 ед., 90 ед. и 67 ед. Затраты на размещение заказа на этапах соответственно равны 98 д.е., 114 д.е., 185 д.е. и 70 д.е. Затраты на хранение единицы продукции в течение одного этапа составляют 1 д.е. на всех этапах. Цена единицы продукции равна 2 д.е. на всех этапах.

Определить оптимальные размеры заказов и минимальные суммарные затраты.

Ответы
1.1.

f(x)=x1−2x2+x3x4→max,

2x1x2x3+x4+x5=6,

x1−2x2x3+x4+x6=−8,

x1+3x2+5x3−3x4=15,



1.2. Для базисной переменной x3

φ(x)=−12x1+6x2+20→max,

−4x1+4x2≤−6,

−3x1≤−9,

2x1x2≤4,

x1, x2≥0.
1.3. Для базисных переменных x3, x4, x5

φ(x)=4x1+3x2−3→max,

x1+2x2≤3,

−3x1−3x2≤−4,

3x1x2≤2,

x1, x2≥0.

1.4. x*=(2,4), f*=16.

1.5. x*=(0,6), f*=−18.

1.6. x*=(5/6,1/2), f*=−1/2.

1.7. x*=(0,6), f*=12.

1.8. Рацион, состоящий из 4 единиц продукта П1 и 2 единиц продукта П2, обеспечивает заданные условия по содержанию веществ А и В и имеет минимальную стоимость 16 д.е.

1.9.

F(y)=y1−4y2−3y3→min,

2y1y2y3≥1,

y1+y2+y4=−10,

−2y2+y3+y4≥2,

y2y4=−1,

y2−2y3=7,

y1≥0, y2≥0, y3≥0.
1.10. Рацион, состоящий из 2 единиц продукта П1 и 6 единиц продукта П2, обеспечивает заданные условия по содержанию веществ A, B, C и D и имеет минимальную стоимость 18 д.е.

1.11.


X0,СЗУ=

120










X0,МЭ=




120










40

10
















50










130

60

,




160




30

.










110










20

90





1.12.


X0,СЗУ=

4

2










X0,МЭ=




6
















4

4




,










2

6

.










4

6







4

0

6








Минимальные транспортные издержки, равные 40 д.е., имеют место при следующем плане перевозок: с 1-го предприятия перевозят 6 ед. продукции во 2-й магазин, со 2-го предприятия − 2 ед. продукции в 3-й магазин и 6 ед. продукции в 4-й магазин, с 3-го предприятия − 4 ед. продукции в 1-й магазин и 6 ед. продукции в 3-й магазин.

2.1. О1 − выигрыш 500 д.е., u1=25; О2 − выигрыш 200 д.е., u2=10; О3 − выигрыш 100 д.е., u3=5; О4 − выигрыш 50 д.е., u4=2,5; О5 − выигрыш 20 д.е., u5=1.

2.2. О1 − добраться к месту работы на такси, u1=12; О2 − добраться к месту работы на трамвае, u2=3; О3 − добраться к месту работы пешком, u3=1.

2.3. u1=8,5; u2=5; u3=3; u4=1,5; u5=1.

2.4.

О1: Q1 и Q2, p(O1)=0;

O2: Q1 и , p(O2)=1/6;

O3: и Q2, p(O3)=1/6;

O4: p(O4)=4/6.

2.5. Наибольшая эффективность стрельбы достигается при среднем количестве израсходованных боеприпасов.

2.6. Фабрике следует изготовить:

− в случае критерия Лапласа − 20 пальто,

− в случае критерия Гурвица – 80 пальто.

2.7. Продавец должен заказать:

− в случае критерия Вальда – 10 газет,

− в случае критерия Лапласа – 30 газет,

− в случае критерия Гурвица – 50 газет,

− в случае критерия Сэвиджа – 40 газет.

2.8. Продавец должен заказать 30 газет.

2.9. Оптимальной является стратегия c5.

2.10.




u1

u2

u3

u4

c5

5

2

4

3

c1

5

2

2

5

c6

4

3

2

5

c7

4

2

4

5

c3

4

2

4

3

c2

3

3

2

5

c4

3

2

4

3


2.11. Оптимальной является стратегия c3.

3.2. Как японцам, так и американцам следует выбрать северный путь, при этом конвой будет подвергаться бомбардировке 2 дня.

3.3. α*= α1, β*= β2, u=v=1.

3.4. Первому игроку в 60% игр следует выбирать число 1 и в 40% игр – число 2; второму игроку в 20% игр следует выбирать число 1 и в 80% игр − число 2. Средний проигрыш первого игрока составит 0,4 рубля.

3.5. Первому игроку в 2/3 от общего числа игр следует выкладывать 1 рубль и в 1/3 от общего числа игр − 2 рубля; второму игроку в 1/2 от общего числа игр следует выкладывать 1 рубль и в 1/2 от общего числа игр − 2 рубля. Средний результат игры – ничья.

3.6. Первому игроку в 2/7 от общего числа игр следует выбирать герб, а в 5/7 от общего числа игр – цифру; второму игроку в 4/7 от общего числа игр следует выбирать герб, а в 3/7 от общего числа игр − цифру. Средний выигрыш второго игрока составит 1/7 рубля.

3.7. Второму игроку следует выбирать число 4, если первый игрок выбрал число 1, и число 3, если первый игрок выбрал число 2. Средний выигрыш второго игрока составит 4,2 рубля.

3.8. Первому игроку в 54% игр следует выбирать число 1 и в 46% игр − число2; второму игроку также в 54% игр следует выбирать число 3 и в 46% игр − число 4. Средний результат игры близок к 0 (практически ничья).

3.9. X0=(3/5,2/5), Y0=(2/5,3/5), u=v=1/5. Защитная пара стратегий (X0, Y0) не является уравновешенной.

3.10. Пара стратегий (X,Y′) является уравновешенной.

3.11. Пара стратегии (X″, Y″) является уравновешенной.

4.1. Оптимальный размер заказа составляет 1000 единиц продукции, оптимальный интервал времени между моментами размещения заказов − 10 дней, минимальные суммарные затраты − 60 д.е. в день.

4.2. Дневные затраты при применяемой стратегии превышают дневные затраты при оптимальной стратегии на 81 д.е.

4.3. Оптимальный размер заказа составляет 15 изделий.

4.4. Оптимальный размер заказа составляет: для 1-го вида продукции − 6,7 единиц; для 2-го вида продукции − 7,6 единиц; для 3-го вида продукции − 10,6 единиц.

4.5.



4.6. Оптимальные размеры заказов на этапах соответственно составляют 4 ед., 0 ед. и 4 ед. продукции; минимальные суммарные затраты равны 91 д.е.

4.7. Оптимальные размеры заказов на этапах соответственно составляют 61 ед., 116 ед., 0 ед. и 67 ед. продукции; минимальные суммарные затраты равны 860 д.е.

^ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, 1997.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Наука, 1988.

3. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х кн. – М.: Мир, 1985.

4. Зайченко Ю.П. Исследование операций. – Киев: Вища школа, 1979.

5. Зайченко Ю.П., Шумилова С.А. Исследование операций. Сборник задач. – Киев: Вища школа, 1984.

6. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. – М.: Изд-во МГТУ, 2000.
СОДЕРЖАНИЕ
^ 1. Линейное программирование…………………………….……..3

1.1. Формы представления задач ЛП……………..………….……..3

1.2. Графический метод решения задачи ЛП………..……….…….6

1.3. Симплекс-метод решения задачи ЛП……………………….....7

1.4. Двойственные задачи ЛП………………………..………........12

1.5. Транспортная задача……………..……………………………15

^ 2. Некоторые принципы принятия решений в задачах исследования операций………………………………..………………………22

2.1. Задачи принятия решений. Определение полезности……....22

2.2. Однокритериальные задачи принятия решений………..…...25

2.3. Многокритериальные задачи принятия решений………..….30

^ 3. Игровые методы принятия решений………………...……….35

3.1. Игры в матричной форме. Решение матричных антагонистических игр в чистых стратегиях………………………………………….35

3.2. Решение матричных антагонистических игр в смешанных стратегиях………………………………………………………………….39

3.3. Игры в позиционной форме……………………..……………45

3.4. Неантагонистические игры (некооперативный вариант)…...46

^ 4. Модели управления запасами…………………………………49

4.1. Детерминированные статические модели……………..…….49

4.2. Детерминированные динамические модели……..…………..54

Ответы…………………………..……………………………….…..59

Библиографический список………………...………………….…63
^

Харчистов Борис Федорович






Методические указания к практическим занятиям


по курсу

Математические методы и модели

исследования операций
Ответственный за выпуск Харчистов Б.Ф.

Редактор Кочергина Т.Ф.

Корректор Чиканенко Л.В.

ЛР № 020565 от 23 июня 1997 г. Подписано к печати


Формат 6084. Бумага офсетная.

Офсетная печать. Усл. п. л.  4. Уч.-изд. л. – 3,8.

Заказ № . Тираж 80 экз.

«С»


Издательство Технологического института ЮФУ


ГСП, 17А, Таганрог, 28, Некрасовский, 44
Типография Технологического института ЮФУ

ГСП, 17А, Таганрог, 28, Энгельса, 1



1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconМетодические указания по проведению практических занятий и выполнению...
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и выполнения домашних заданий по дисциплине «Экономико-математические...
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconКлючевые понятия 54 Контрольные вопросы 55
К65 Математические методы исследования операций в экономикеЎєспб: Питер, 2000. ЎЄ 208 с.: ил. ЎЄ (Серия «Краткий курс»)
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconПрограммные вопросы по курсу «Психология» для студентов специальности...
История предмет, структура педагогической психологии ее задачи и методы исследования
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconПлан семинарских занятий
Для студентов 4 курса очного отделения, обучающихся по специальности «математические методы в экономике»
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconМетодические указания к лабораторным работам по курсу рспсит для...
Методические указания к лабораторным работам по курсу рспсит для специальности 080801. 65-Прикладная информатика в экономике
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconДисциплина «Методология и методы психологического исследования» для...
Классификация методов психологического исследования (Классификация Пирьова; Б. Г. Ананьева; М. С. Роговина и Г. В. Залевского; В....
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconСеминар №2 по дисциплине «Методология и методы психологического исследования»...
Проблемная ситуация и проблема исследования. Требования к формулированию проблемы научного исследования
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconРабочая программа дисциплины математические методы в исторических исследованиях
Целью освоения дисциплины Математические методы в исторических исследованиях является формирование целостного, системного представления...
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 icon1. Понятие о науке а/х и методы исследования, которыми она располагает
Математические методы используют для проверки точности опытов и установлении достоверности полученных результатов. Выявления кариляционных...
По курсу математические методы и модели исследования операций для студентов специальности 080801 iconПрограмма междисциплинарного экзамена по специальности 080801. 65...
Охватывает вопросы ряда специальных дисциплин, предусмотренных учебным планом вэпи по данной специальности и позволяет оценить качество...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница