Вероятностная модель финансового рынка


Скачать 160.56 Kb.
НазваниеВероятностная модель финансового рынка
страница1/3
Дата публикации12.07.2013
Размер160.56 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
  1   2   3
3.1. Основы портфельного анализа в условиях неопределенности. Модель Марковитца
Модель портфельного анализа Марковитца основана на следующих предположениях:

  • Рынок состоит из конечного числа абсолютно ликвидных активов, которые подразумеваются бесконечно делимыми. Доходности рисковых активов являются нормально распределенными случайными величинами, имеющими конечные моменты первого (математическое ожидание) и второго (дисперсия) порядка.

  • Индивидуальные предпочтения инвестора задаются функцией полезности от двух аргументов: ожидаемой доходности, измеряемой математическим ожиданием, и риска, оцениваемого дисперсией. Соответственно сравнение портфелей осуществляется на основе только двух критериев.

  • Инвестор не склонен к риску, т.е. из двух портфелей с одинаковой ожидаемой доходностью он предпочтет портфель с меньшим риском. В то же время из двух портфелей с одинаковым риском инвестор выберет портфель с большей ожидаемой доходностью.

  • Налоги и трансакционные издержки равны нулю.
^

Вероятностная модель финансового рынка


Введем следующие обозначения. Пусть – множество активов (акций, облигаций, валютных единиц, комбинаций активов), обращающихся на финансовом рынке; – рыночная стоимость актива в дискретные моменты времени ; – величина чистого денежного потока, связанного с активом , в промежутке между и : дивиденды, купонные выплаты и т.д. Тогда доходность актива за период времени определяется по формуле:

.

Рассмотрим вероятностное пространство , где – множество элементарных исходов на финансовом рынке, – множество событий, – вероятности на множестве событий. Актив , представленный на финансовом рынке, будет описываться случайной величиной как функцией от , где характеризует доходность актива для одного временного периода.

Математическое ожидание случайной величины для конечного вероятностного пространства определяется по формуле:

,

где – вероятность элементарного исхода, или по формуле



в общем случае.

Дисперсия случайной величины :

,

ковариация между и :

.

Если , то .

На практике вместо и часто используют их выборочные оценки, построенные на основе прошлых значений доходностей :



В однопериодной () модели Марковитца инвестор в момент времени формирует портфель :

, (3.1.1)

где показывает, какая доля капитала инвестора размещена в актив . Множество , представляющее собой всю совокупность портфелей, которые могут быть сформированы из активов, называют достижимым множеством.

Любой портфель характеризуется, согласно подходу Марковитца, двумя показателями – математическим ожиданием и дисперсией .

Математическое ожидание



показывает ожидаемую доходность портфеля . Формируя портфель активов, инвестор стремится к увеличению ожидаемой доходности.

Дисперсия портфеля

(3.1.2)

(или его стандартное отклонение ) характеризует уровень риска, связанного с портфелем . Инвестор, формируя портфель стремится к уменьшению его дисперсии.

Таким образом, можно по-разному формулировать оптимизационную задачу выбора из класса допустимых портфелей в зависимости от критерия оптимальности. Например, найти , являющийся решением задачи:

1. ,

,

где – некоторая константа, задающая значение ожидаемой доходности портфеля.

2. ,

где – функция полезности инвестора с частными производными

.

3.



задача с дополнительными линейными ограничениями на множество искомых портфелей.

Портфель , являющийся решением задачи оптимизации, которая отражает индивидуальные предпочтения инвестора относительно ожидаемой доходности и риска и ограничения рынка, на котором он действует, называется эффективным портфелем.

Множество портфелей, каждый из которых обеспечивает:

  • максимальную ожидаемую доходность среди портфелей достижимого множества с одинаковым уровнем риска;

  • минимальный риск среди портфелей достижимого множества с одинаковым значением ожидаемой доходности, не меньшей, чем доходность портфеля с минимальным риском, т.е.



или ,

где , называется эффективным множеством.

На рис. 3.1.1 отображено множество точек (,), где , которое иллюстрирует местоположение достижимого множества в системе координат (,). Часть достижимого множества, расположенного на его границе между точками и представляет эффективное множество .











Рис. 3.1.1. Достижимое и эффективное множества.






















Анализ портфелей с использованием показателей среднего и дисперсии называют средне – дисперсионным анализом. Целью его является определение множества эффективных портфелей, обеспечивающих максимум ожидаемой доходности при минимуме риска.

Для поиска эффективного портфеля могут использоваться разные алгоритмы в соответствии с критериями оптимальности инвестора относительно ожидаемой доходности или риска. В то же время состав эффективного множества при одних и тех же ограничениях на портфели будет одинаковым независимо от методики его нахождения. Будем рассматривать эффективное множество как бесконечное множество эффективных портфелей, каждый из которых удовлетворяет критерию оптимальности какого-либо инвестора.

^ Эффективный портфель при фиксированном значении ожидаемой доходности

В данном случае инвестор выбирает портфель с фиксированным значением ожидаемой доходности и минимальным для этого уровня доходности риском. Совокупность эффективных портфелей для всех допустимых в эффективном множестве значений ожидаемой доходности составит искомое эффективное множество.

Р
ассмотрим финансовый рынок с рисковыми активами. Обозначим через вектор ожидаемых доходностей, через – матрицу ковариаций доходностей. Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух активов различна: , а матрица ковариаций положительно определена: . Отметим, что матрица ковариаций будет вырождена, если верно хотя бы одно из следующих утверждений:

  1. Достижимое множество содержит безрисковый портфель.

  2. Один актив является комбинацией других активов.

  3. Рынок является арбитражным, т.е. существует самофинансируемый портфель с положительной ожидаемой доходностью и нулевым риском:

.

Обозначим через вектор весов для активов из сформированного портфеля : . Ожидаемая доходность портфеля равна: , а дисперсия . Задача нахождения портфеля, минимизирующего риск при заданном значении ожидаемой доходности портфеля, сводится к следующей задаче оптимизации:

(3.1.3)

где – вектор , состоящий из единиц.

Решение задачи (3.1.3) на условный экстремум будем искать с помощью метода множителей Лагранжа. Для этого необходимо построить функцию Лагранжа, найти ее производную по , приравнять к нулю, добавить уравнения – ограничения и решить систему линейных уравнений относительно . Итак, получаем следующую функцию Лагранжа:

,

где и – множители Лагранжа.

Таким образом, необходимо решить систему линейных уравнений с неизвестными:



В соответствии с предположениями, сделанными для и , решение задачи (3.1.3) существует и единственно. Его можно записать в следующем виде:

,

где и – векторы :



.

Решая задачу оптимизации для каждого , где



получаем эффективное множество (рис. 3.1.2).









































Рис. 3.1.2. Эффективное множество и эффективный портфель при заданном уровне доходности
Эффективный портфель в зависимости от отношения инвестора к риску

Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух активов различна: , а матрица ковариаций положительно определена: . Эти предположения обеспечивают существование и единственность решения задачи оптимизации.

Определение эффективного портфеля в зависимости от отношения инвестора к риску сводится к следующей задаче оптимизации:



или в векторной форме:

(3.1.4)

Параметр отражает терпимость инвестора к риску и может быть соотнесен с относительной мерой риска Эрроу – Пратта ( – функция полезности Неймана – Моргенштейна) обратной зависимостью .

Решением задачи оптимизации (3.1.4) для всех является эффективное множество (рис. 3.1.3).

В соответствии с методом множителей Лагранжа, построим функцию Лагранжа:

.

Решение задачи (3.1.4) будет удовлетворять системе линейных уравнений с неизвестным:

(3.1.5)

Для решением задачи оптимизации является вектор

, (3.1.6)

соответствующий портфелю с минимальной дисперсией на множестве всех эффективных портфелей: (рис. 3.1.3).



















Рис. 3.1.3. Эффективный портфель и отношение инвестора к риску
Для фиксированного решение задачи представимо в следующем виде:

, (3.1.7)

где – вектор , обладающий следующим свойством: . Экономический смысл вектора состоит в том, что он представляет собой не принадлежащий достижимому множеству самофинансируемый портфель, в котором покупка одних активов осуществляется за счет продажи других.

Таким образом, любой эффективный портфель является линейной комбинацией портфеля , который зависит только от и обеспечивает минимальный риск, и портфеля , генерирующего максимальную доходность.

Так как , то в результате эффективное множество в системе координат (,) будет определяться следующими формулами:



  1   2   3

Похожие:

Вероятностная модель финансового рынка iconБиномиальная модель финансового рынка. Безарбитражность, единственность...
Уточним введенную в предыдущем параграфе модель рынка, предполагая, что доходности
Вероятностная модель финансового рынка iconВопросы к экзамену
Вероятностная модель эксперимента с конечным или счетным числом исходов. Классическое определение вероятности
Вероятностная модель финансового рынка icon1. Финансовый рынок и вероятностные основы моделирования финансового...
Емкими примерами таких активов являются акции и облигации (банковский счет). Они образуют основу финансового рынка как пространства,...
Вероятностная модель финансового рынка icon2: базовые концепции финансового менеджмента
Большинство финансовых теорий основывается на понятии идеального рынка капитала. Условия такого рынка
Вероятностная модель финансового рынка iconВопросы к экзамену по дисциплине «Управленческие решения»
Модели принятия решений и их сравнительная характеристика (рациональная модель, модель Саймона, модель Марча, модель Минцберга, модель...
Вероятностная модель финансового рынка iconУправляемость финансовых кризисов
В публичном дискурсе широко тиражировалась другая объяснительная модель, а именно модель стохастической неустойчивости глобального...
Вероятностная модель финансового рынка iconПереход от биномиальной к непрерывной модели рынка
Можно представить, что временной горизонт рынка не является целым числом, и мы с необходимостью должны изучать рынки, в которых дискретность...
Вероятностная модель финансового рынка iconМодель Блека Модель Марковица Модель Тобина Sheet 1: Методы оптимизации

Вероятностная модель финансового рынка iconРиск метрика
Иными словами, VaR позволяет оценить максимальные допустимые потери участника финансового рынка, связанные с непредвиденным ухудшением...
Вероятностная модель финансового рынка iconЗаконы денежного обращения, денежная масса, скорость обращения денег
Сущность финансового рынка и рцб, виды ценных бумаг, обращающихся на финансовом рынке
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница