Вероятностная модель финансового рынка
Скачать 160.56 Kb.
|
| 3.1. Основы портфельного анализа в условиях неопределенности. Модель Марковитца Модель портфельного анализа Марковитца основана на следующих предположениях:
Введем следующие обозначения. Пусть  – множество активов (акций, облигаций, валютных единиц, комбинаций активов), обращающихся на финансовом рынке;  – рыночная стоимость актива  в дискретные моменты времени  ;  – величина чистого денежного потока, связанного с активом  , в промежутке между  и  : дивиденды, купонные выплаты и т.д. Тогда доходность актива за период времени  определяется по формуле:  .Рассмотрим вероятностное пространство  , где  – множество элементарных исходов на финансовом рынке,  – множество событий,  – вероятности на множестве событий. Актив , представленный на финансовом рынке, будет описываться случайной величиной  как функцией от  , где  характеризует доходность актива для одного временного периода. Математическое ожидание случайной величины  для конечного вероятностного пространства определяется по формуле:  , где  – вероятность элементарного исхода, или по формуле в общем случае. Дисперсия случайной величины : ,ковариация между и  : .Если  , то  .На практике вместо  и  часто используют их выборочные оценки, построенные на основе прошлых значений доходностей  : В однопериодной (  ) модели Марковитца инвестор в момент времени  формирует портфель  :  , (3.1.1)где  показывает, какая доля капитала инвестора размещена в актив . Множество  , представляющее собой всю совокупность портфелей, которые могут быть сформированы из  активов, называют достижимым множеством.Любой портфель  характеризуется, согласно подходу Марковитца, двумя показателями – математическим ожиданием  и дисперсией  . Математическое ожидание  показывает ожидаемую доходность портфеля . Формируя портфель активов, инвестор стремится к увеличению ожидаемой доходности.Дисперсия портфеля  (3.1.2)(или его стандартное отклонение  ) характеризует уровень риска, связанного с портфелем . Инвестор, формируя портфель стремится к уменьшению его дисперсии.Таким образом, можно по-разному формулировать оптимизационную задачу выбора из класса допустимых портфелей в зависимости от критерия оптимальности. Например, найти  , являющийся решением задачи:1.  , ,где  – некоторая константа, задающая значение ожидаемой доходности портфеля.2.  , где  – функция полезности инвестора с частными производными  .3.  задача с дополнительными линейными ограничениями на множество искомых портфелей. Портфель  , являющийся решением задачи оптимизации, которая отражает индивидуальные предпочтения инвестора относительно ожидаемой доходности и риска и ограничения рынка, на котором он действует, называется эффективным портфелем.Множество  портфелей, каждый из которых обеспечивает:
 или  ,где  , называется эффективным множеством.На рис. 3.1.1 отображено множество точек (  ,), где , которое иллюстрирует местоположение достижимого множества в системе координат (,). Часть достижимого множества, расположенного на его границе между точками  и  представляет эффективное множество .     Рис. 3.1.1. Достижимое и эффективное множества.             Анализ портфелей с использованием показателей среднего и дисперсии называют средне – дисперсионным анализом. Целью его является определение множества эффективных портфелей, обеспечивающих максимум ожидаемой доходности при минимуме риска. Для поиска эффективного портфеля могут использоваться разные алгоритмы в соответствии с критериями оптимальности инвестора относительно ожидаемой доходности или риска. В то же время состав эффективного множества при одних и тех же ограничениях на портфели будет одинаковым независимо от методики его нахождения. Будем рассматривать эффективное множество как бесконечное множество эффективных портфелей, каждый из которых удовлетворяет критерию оптимальности какого-либо инвестора. ^ В данном случае инвестор выбирает портфель с фиксированным значением ожидаемой доходности и минимальным для этого уровня доходности риском. Совокупность эффективных портфелей для всех допустимых в эффективном множестве значений ожидаемой доходности составит искомое эффективное множество. Р  ассмотрим финансовый рынок с рисковыми активами. Обозначим через  вектор  ожидаемых доходностей, через  – матрицу  ковариаций доходностей. Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух активов различна:  , а матрица ковариаций положительно определена:  . Отметим, что матрица ковариаций будет вырождена, если верно хотя бы одно из следующих утверждений:
 .Обозначим через  вектор весов для активов из сформированного портфеля :  . Ожидаемая доходность портфеля равна:  , а дисперсия  . Задача нахождения портфеля, минимизирующего риск при заданном значении ожидаемой доходности портфеля, сводится к следующей задаче оптимизации: (3.1.3)где  – вектор , состоящий из единиц.Решение задачи (3.1.3) на условный экстремум будем искать с помощью метода множителей Лагранжа. Для этого необходимо построить функцию Лагранжа, найти ее производную по , приравнять к нулю, добавить уравнения – ограничения и решить систему линейных уравнений относительно . Итак, получаем следующую функцию Лагранжа: ,где  и  – множители Лагранжа. Таким образом, необходимо решить систему  линейных уравнений с неизвестными: В соответствии с предположениями, сделанными для  и  , решение задачи (3.1.3) существует и единственно. Его можно записать в следующем виде: , где  и  – векторы :  .Решая задачу оптимизации для каждого  , где  получаем эффективное множество (рис. 3.1.2).             Рис. 3.1.2. Эффективное множество и эффективный портфель при заданном уровне доходности Эффективный портфель в зависимости от отношения инвестора к риску Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух активов различна: , а матрица ковариаций положительно определена: . Эти предположения обеспечивают существование и единственность решения задачи оптимизации.Определение эффективного портфеля в зависимости от отношения инвестора к риску сводится к следующей задаче оптимизации:  или в векторной форме:  (3.1.4)Параметр  отражает терпимость инвестора к риску и может быть соотнесен с относительной мерой риска Эрроу – Пратта  ( – функция полезности Неймана – Моргенштейна) обратной зависимостью  . Решением задачи оптимизации (3.1.4) для всех  является эффективное множество (рис. 3.1.3). В соответствии с методом множителей Лагранжа, построим функцию Лагранжа:  .Решение задачи (3.1.4) будет удовлетворять системе  линейных уравнений с неизвестным: (3.1.5)Для  решением задачи оптимизации является вектор  , (3.1.6)соответствующий портфелю с минимальной дисперсией на множестве всех эффективных портфелей:  (рис. 3.1.3).        Рис. 3.1.3. Эффективный портфель и отношение инвестора к риску Для фиксированного  решение задачи представимо в следующем виде: , (3.1.7)где  – вектор  , обладающий следующим свойством:  . Экономический смысл вектора  состоит в том, что он представляет собой не принадлежащий достижимому множеству самофинансируемый портфель, в котором покупка одних активов осуществляется за счет продажи других. Таким образом, любой эффективный портфель является линейной комбинацией портфеля  , который зависит только от и обеспечивает минимальный риск, и портфеля  , генерирующего максимальную доходность. Так как  , то в результате эффективное множество в системе координат (,) будет определяться следующими формулами: |
Похожие:
 | Биномиальная модель финансового рынка. Безарбитражность, единственность... Уточним введенную в предыдущем параграфе модель рынка, предполагая, что доходности | | Вопросы к экзамену Вероятностная модель эксперимента с конечным или счетным числом исходов. Классическое определение вероятности |
| 1. Финансовый рынок и вероятностные основы моделирования финансового... Емкими примерами таких активов являются акции и облигации (банковский счет). Они образуют основу финансового рынка как пространства,... | | 2: базовые концепции финансового менеджмента Большинство финансовых теорий основывается на понятии идеального рынка капитала. Условия такого рынка |
 | Вопросы к экзамену по дисциплине «Управленческие решения» Модели принятия решений и их сравнительная характеристика (рациональная модель, модель Саймона, модель Марча, модель Минцберга, модель... | | Управляемость финансовых кризисов В публичном дискурсе широко тиражировалась другая объяснительная модель, а именно модель стохастической неустойчивости глобального... |
| Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка Можно представить, что временной горизонт рынка не является целым числом, и мы с необходимостью должны изучать рынки, в которых дискретность... | | Модель Блека Модель Марковица Модель Тобина Sheet 1: Методы оптимизации |
| Риск метрика Иными словами, VaR позволяет оценить максимальные допустимые потери участника финансового рынка, связанные с непредвиденным ухудшением... | | Законы денежного обращения, денежная масса, скорость обращения денег Сущность финансового рынка и рцб, виды ценных бумаг, обращающихся на финансовом рынке |