Вероятностная модель финансового рынка


Скачать 160.56 Kb.
НазваниеВероятностная модель финансового рынка
страница2/3
Дата публикации12.07.2013
Размер160.56 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
1   2   3
^

Модель Марковитца с безрисковым активом


Пусть инвестор формирует портфель из рисковых активов с вектором ожидаемых доходностей и матрицей ковариаций и безрискового актива с детерминированной доходностью . Предполагается, что и матрица ковариаций положительно определена, т.е. решение задачи оптимизации существует и единственно. Для любого портфеля из достижимого множества

(3.1.8)

имеем:

или в векторной форме

где .

Определение эффективного портфеля может быть сведено к следующим задачам оптимизации.

1. Если критерием оптимальности является минимальный риск при заданном значении ожидаемой доходности портфеля, то получаем задачу оптимизации:



Решение задачи находится из системы линейных уравнений с неизвестными:



где – множители Лагранжа. Получаем:



Решая задачу оптимизации для каждого , получаем эффективное множество, которое в случае существования безрискового актива будет иметь в системе координат форму луча (рис. 3.1.4).

2. Если эффективный портфель определяется с учетом отношения инвестора к риску, то задача оптимизации будет иметь следующий вид:



где характеризует терпимость инвестора к риску. Решение задачи находится из системы линейных уравнений с неизвестными:

(3.1.9)

где – множитель Лагранжа.

Эффективный портфель, являющийся решением системы уравнений, можно представить в следующем виде:

, (3.1.10)

где – портфель с минимальной дисперсией, для которого , – вектор, обладающий свойством: , причем:



Решая задачу оптимизации для каждого , получаем эффективное множество (рис. 3.1.4).

Докажем, что в случае наличия безрискового актива эффективное множество в системе координат (,) является лучом.

Любой портфель из достижимого множества (3.1.8) можно представить как совокупность двух активов: безрискового и рискового, являющегося комбинацией рисковых активов. Обозначим через долю капитала инвестора, вложенную в рисковую часть портфеля, ожидаемую доходность рискового актива портфеля – через , его дисперсию – через . Тогда доля безрискового актива в портфеле составит . Доходность безрискового актива равна , а дисперсия – . Для любого портфеля имеем:



где – ковариация доходностей рисковой и безрисковой частей портфеля.

Отсюда , а значит – уравнение луча с началом в точке , которая соответствует портфелю с минимальной дисперсией . Луч будет касаться эффективного множества, не имеющего безрискового актива (рис.3.1.4). Точка касания соответствует портфелю, состоящему только из рисковых активов. Любая точка слева от характеризует портфель, для которого , т.е. когда инвестор делает вложения в безрисковый актив. Для любой точки справа от , т.е. инвестор заимствует безрисковый актив.





































^

Рис. 3.1.4. Эффективное множество при наличии безрискового актива



Модель Марковитца в случае наличия дополнительных линейных ограничений

Предположим, что инвестор формирует портфель из рисковых активов с вектором весов , вектором ожидаемых доходностей и положительно определенной матрицей ковариаций . При этом существуют дополнительные линейные ограничения на эффективное или достижимое множество, например, запрет на осуществление короткой продажи или требование покупки одних активов за счет продажи других: , где и т.д. Отметим, что ограничение на достижимое множество (3.1.1) может принять следующую форму: .

Задачу оптимизации в случае наличия дополнительных линейных ограничений можно сформулировать в общем виде следующим образом:

(3.1.11)

где – матрица , – вектор , определяющие ограничения на достижимое или эффективное множество.

Функция Лагранжа определяется следующим образом:

,

где – вектор множителей Лагранжа. В соответствии с теоремой Куна-Таккера решение задачи (3.1.11) должно удовлетворять системе:



Решением системы является кусочно-непрерывная функция , имеющая разрывы в некоторых точках , в которых не выполняются ограничения задачи оптимизации. Следовательно, эффективное множество в системе координат будет также кусочно-непрерывным (рис.3.1.5).










Рис. 3.1.5. Эффективное множество при наличии дополнительных л








инейных ограничений


1   2   3

Похожие:

Вероятностная модель финансового рынка iconБиномиальная модель финансового рынка. Безарбитражность, единственность...
Уточним введенную в предыдущем параграфе модель рынка, предполагая, что доходности
Вероятностная модель финансового рынка iconВопросы к экзамену
Вероятностная модель эксперимента с конечным или счетным числом исходов. Классическое определение вероятности
Вероятностная модель финансового рынка icon1. Финансовый рынок и вероятностные основы моделирования финансового...
Емкими примерами таких активов являются акции и облигации (банковский счет). Они образуют основу финансового рынка как пространства,...
Вероятностная модель финансового рынка icon2: базовые концепции финансового менеджмента
Большинство финансовых теорий основывается на понятии идеального рынка капитала. Условия такого рынка
Вероятностная модель финансового рынка iconВопросы к экзамену по дисциплине «Управленческие решения»
Модели принятия решений и их сравнительная характеристика (рациональная модель, модель Саймона, модель Марча, модель Минцберга, модель...
Вероятностная модель финансового рынка iconУправляемость финансовых кризисов
В публичном дискурсе широко тиражировалась другая объяснительная модель, а именно модель стохастической неустойчивости глобального...
Вероятностная модель финансового рынка iconПереход от биномиальной к непрерывной модели рынка
Можно представить, что временной горизонт рынка не является целым числом, и мы с необходимостью должны изучать рынки, в которых дискретность...
Вероятностная модель финансового рынка iconМодель Блека Модель Марковица Модель Тобина Sheet 1: Методы оптимизации

Вероятностная модель финансового рынка iconРиск метрика
Иными словами, VaR позволяет оценить максимальные допустимые потери участника финансового рынка, связанные с непредвиденным ухудшением...
Вероятностная модель финансового рынка iconЗаконы денежного обращения, денежная масса, скорость обращения денег
Сущность финансового рынка и рцб, виды ценных бумаг, обращающихся на финансовом рынке
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница