Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка


НазваниеПереход от биномиальной к непрерывной модели рынка
Дата публикации12.07.2013
Размер39.4 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
    1. Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка.

Формула и уравнение Блэка-Шоулса.



В рассмотренных выше моделях рынков изменения в ценах происходили через единичные интервалы времени. Можно представить, что временной горизонт рынка не является целым числом, и мы с необходимостью должны изучать рынки, в которых дискретность по времени (или, как говорят, тики) происходят кратно некоторому положительному числу . Такую модель будем называть -рынком:



где – стохастическая последовательность доходностей, порождающая фильтрацию



Существует стандартный путь распространения такого дискретного рынка на весь отрезок : для



так что все объекты оказываются определенными для всех . В этом случае стохастические последовательности превращаются в случайные процессы, а сама модель – в формально непрерывную модель рынка.

Вполне естественно рассмотреть, например, платежное обязательство как выплаты по (европейскому) опциону покупателя на описанном выше -рынке. Соответствующую цену опциона обозначим . Варьируя параметр дискретности , мы получаем целое семейство -рынков. Хотелось, чтобы при такие ключевые величины как имели некоторые пределы.

Предположим, что последовательность образуется независимыми случайными величинами, принимающими два значения с вероятностями и . Пусть и представим в следующей форме:



где .

В соответствии с этим исходный -рынок переписывается в виде: для



где

и процесс имеет независимые приращения ввиду независимости .

Найденная форма -рынка приводит нас к совершенно естественной предельной модели : для



в которой дифференциалы являются формальными пределами .

Из теории вероятностей известно, что с испытаниями Бернулли связаны два "предельных" распределения – Гауссовское и Пуассоновское. Поэтому в данной ситуации разумно считать, что предельный процесс обладает свойствами:



а его независимые приращения либо гауссовские, либо пуассоновские. В первом случае этот процесс называется винеровским (или броуновским движением), а соответствующая модель -рынка моделью Блэка-Шоулса. Во втором – это (центрированный) процесс Пуассона, а модель – модель Мертона.

Для определенности остановимся на первом случае. Параметры называют процентной ставкой, нормой возврата и волатильностью. Достаточно ясно, что опцион покупателя также можно рассмотреть на этом непрерывном рынке и соответствующее обязательство будет иметь вид . Обозначим премию по этому опциону и найдем, чему равна эта премия, предельным переходом:



Пусть параметры -рынка и его предполагаемого "предела" связаны соотношениями



Применяя формулу Кокса-Росса-Рубинштейна, имеем, что



где

,



В соответствии с предельной теоремой Муавра-Лапласа при имеем следующие соотношения



Далее, при

,

Прямым подсчетом убеждаемся, что при

,

,



и приходим к соотношениям



Таким образом получаем следующую знаменитую формулу Блэка-Шоулса



Можно воспроизвести ту же процедуру предельного перехода на отрезке и получить аналогичную формула Блэка и Шоулса для указанного временного интервала, при этом происходит замена на и на . Соответствующую цену опциона обозначим как функцию цены акции . Предположим, что – дважды непрерывно дифференцируема по и один раз по (). Оказывается, удовлетворяет дифференциальному уравнению Блэка-Шоулса:



Приведем соображения, объясняющие происхождение указанного уравнения.

Рассмотрим -рынок с параметрами



Для мартингальной вероятности в этом случае получаем, очевидно, такую асимптотическую формулу: при



Поскольку цены акций на -рынке принимают только два значения, то



Далее, применяя формулу Тейлора, получаем при , что



и, значит,



Делением обеих частей на достигается нужное утверждение о виде уравнения Блэка и Шоулса.


Похожие:

Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка iconХеджирование платежных обязательств на биномиальном финансовом рынке....
Рассмотрим в рамках введенной в предыдущем параграфе биномиальной модели -рынка некоторый финансовый контракт
Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка iconПоложение о всероссийском конкурсе детского рисунка «Моя Родина 2012»...
Российская Федерация является преемницей предшествующих форм непрерывной государственности с 862 года
Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка iconСтруктура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций
Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,...
Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка iconЗадачи Найти все значения, при которых существует риск-нейтральная...
Найти все значения, при которых существует риск-нейтральная вероятность в следующей модели рынка
Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка iconФормулы Формула цены Формула Фишера ( расчет массы денежного обращения)...
Национальная экономика в условиях рынка может быть представлена в виде совокупности рынков (рынка товаров и услуг, рынка факторов...
Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка icon1 Структура электронного рынка, модели взаимодействия участников
Повторим, что электронный бизнес как система, оказывающая влияние на все бизнес-процессы в экономике, характеризуется несколькими...
Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка iconМаркетинг как объект управления. Отечественные маркетинговые управленческие...
Равление маркетингом непосредственным образом связано либо с формированием рынка вообще, либо рынка конкретной фирмы, либо рынка...
Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка iconПрактическая работа №6 Анализ отрасли и рынка. Оценка конкуренции Цель работы
Ход работы: в разделе бизнес-плана «Анализа рынка» Вы должны описать свою отрасль и продемонстрировать знание рынка, свои исследования...
Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка icon41-В– 17 июня; 42-В
Содержание и порядок проектирования технологических процессов. Основные понятия и определения. Производственный процесс. Технологический...
Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка iconЗадание Модели установления равновесной цены
Задание в результате изучения рынка сбыта некоторого товара, после статистической обработки полученных данных, были построены кривые...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница