1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации
Скачать 189.71 Kb.
|
| 1.11. Дюрация и показатель выпуклости облигации. Для облигации, не имеющей кредитного риска, всегда существует процентный риск. Это риск уменьшения цены облигации вследствие изменения процентных ставок на рынке. Чувствительность цены облигации к изменению процентных ставок характеризуется величиной  . Ранее установлено, что на относительное изменение цены облигации при изменении ее внутренней доходности влияют уровень начальной доходности, купонная ставка, срок до погашения. Однако существует показатель, который позволяет оценить возможные значения величины , не производя вычислений цены облигации до и после изменения процентных ставок.Рассмотрим облигацию, по которой через t1 , t2,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сn соответственно. Предположим, временная структура процентных ставок в этот момент такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда рыночная стоимость облигации равна P(r) =  . (11.1)Предположим, временная структура процентных ставок мгновенно изменилась так, что безрисковые процентные ставки для всех сроков изменились на одну и ту же величину Δr. Тогда стоимость облигации станет равнойP(r + Δr) =  . (11.2)Δr > 0 означает увеличение процентных ставок, Δr < 0 – уменьшение. Приращение стоимости ΔP(r) = P(r + Δr) - P(r) является положительной величиной при Δr < 0 и означает рост стоимости облигации при снижении процентных ставок на рынке. Отрицательное значение величины ΔP(r) = P(r + Δr) - P(r) означает падение цены облигации при увеличении процентных ставок на величину Δr > 0. Такой же смысл имеет знак относительного приращения стоимости облигации . Относительное приращение стоимости облигации при изменении процентных ставок на величину Δr равно =  , (11.3)где P(r) и P(r + Δr) рассчитываются по формулам (11.1) и (11.2). Рассмотрим, как можно оценить величину , не используя точных вычислений по формуле (11.3). Считая Δr достаточно малым по абсолютной величине, получим по формуле Тейлора ΔP(r) = P(r + Δr) - P(r) ≈ P/(r)Δr или с учетом членов разложения второго порядка ΔP(r) = P(r + Δr) - P(r) ≈ P/(r)Δr +  P//(r)(Δr)2.Члены более высокого порядка считаются незначительными при определении чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок на рынке. Для относительных приращений цены облигации имеем ≈  (11.4)или ≈  . (11.5)Так как P(r) = , то P/(r) =  =  и P//(r) =  =  ,где Сi (0) =  , i = 1, 2, …, n - приведенные к моменту t = 0 платежи по облигации. Тогда  =  , =  .Определение. Число D =  (11.6)называется дюрацией облигации, или дюрацией Маколея. Дюрация облигации представляет собой средневзвешенный срок выплат по облигации, где весами являются текущие стоимости выплат Сi(0), деленные на рыночную цену облигации P(r). Таким образом, коэффициент  выражает долю рыночной цены облигации, которая будет получена через ti лет, i = 1, 2, …, n. Сумма коэффициентов в формуле (11.6) равна единице: .Определение. Число C =  (11.7)называется показателем выпуклости облигации. Таким образом, =  , =  .Тогда из формул (11.4) и (11.5) получаем ≈  (11.8)или ≈ +  . (11.9)Проанализируем эти выражения. Так как чувствительность цены облигации к изменению процентных ставок характеризуется величиной , то из (11.8) следует, что дюрация облигации оценивает чувствительность цены облигации к изменению временной структуры процентных ставок. Следовательно, дюрацию облигации можно рассматривать как меру процентного риска облигации – чем больше дюрация, тем больше процентный риск облигации.Пусть ≈ + и показатель выпуклости С таков, что вторым слагаемым нельзя пренебречь по сравнению с первым. Следовательно, чем больше показатель выпуклости, тем хуже дюрация облигации оценивает величину . И наоборот – чем меньше ^ , тем более верным является приближенное равенство (11.8). Следовательно, чем меньше С, тем лучше дюрация облигации оценивает чувствительность цены облигации к изменениям временной структуры процентных ставок. Таким образом, показатель выпуклости облигации можно интерпретировать как показатель того, насколько точно дюрация облигации оценивает величину .Таким образом, в момент t = 0 дюрация облигации является мерой ее процентного риска при следующих условиях: 1) в начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r (кривая доходностей является горизонтальной); 2) процентные ставки для всех сроков изменились мгновенно в этот же момент на одну и ту же величину Δr (кривая доходностей переместилась параллельно самой себе); 3) Δr мало; 4) показатель выпуклости облигации мал, т.е. справедлива формула (11.8). На рис. 1.11.1 показана зависимость стоимости облигации P(r + Δr) от доходности (r + Δr). Кривая 1 построена по формуле (11.2) для точного поведения цены. Из формул (11.8) и (11.9) получим выражения для приближенного поведения цены: P(r + Δr) ≈ P(r)  , (11.10)P(r + Δr) ≈ P(r) +  . (11.11)Зависимость (11.10), описывающая изменение цены только с помощью дюрации облигации, является линейной относительно (r + Δr) (кривая 2). Зависимость (11.11), описывающая изменение цены облигации с помощью дюрации и показателя выпуклости, является квадратичной (кривая 3).  Рис. 1.11.1 Пример 11.1. Дана 6% - ная купонная облигация номиналом 1000 д.е., по которой обещают производить купонные выплаты каждые полгода в течение 3 лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и составляют 8% в год. Определить: 1. Дюрацию и показатель выпуклости облигации; 2. Относительное изменение цены облигации при изменении процентных ставок на величину Δr = 0,01; 0,02; – 0,01 по формулам: (11.3) – точное значение, (11.8) – приближенное с учетом только дюрации облигации, (11.9) - приближенное с учетом дюрации и показателя выпуклости облигации. Здесь значения параметров облигации следующие: A = 1000 д.е., f = 0,06, m = 2, T = 3 года, r = 0,08. 1. Результаты расчета дюрации и показателя выпуклости облигации приведены в таблице:
|
Похожие:
 | 1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее... Факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности... | | 1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,... Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые... |
| Лекция 3 Облигации Вопрос Экономическая характеристика облигации Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой... | | Структура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,... |
| 92. Облигация. Определение, функции, свойства, разновидности Облигация может также предусматривать право ее владельца на получение фиксированного в ней процента от номинальной стоимости облигации... | | 1 Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным... |
| Дополнительный материал: Облигации организации: экономическая сущность,... Облигация долговое обязательство эмитента, выпустившего ценную бумагу, уплатить владельцу облигации в оговоренный срок номинальную... | | 4. Абсолютные и относительные Статистический показатель представляет собой обобщающую количественную характеристику какого-либо свойства совокупности, группы.... |
| 1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при... В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения... | | Курсовая стоимость и доходность облигаций. Дюрация Макколея Необходимые и достаточные условия экстремума дважды непрерывно- дифференцируемой функции двух переменных |