1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации

Скачать 189.71 Kb.

Название	1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации
страница	2/3
Дата публикации	12.07.2013
Размер	189.71 Kb.
Тип	Документы

userdocs.ru > Математика > Документы

Содержание

Действительно, для чисто дисконтной облигации имеем
Согласно определению, показатель выпуклости равен

1 2 3

Таким образом, цена облигации P(0,08) = 951,491 д.е., ее дюрация D = 2,784 года, показатель выпуклости C = 10,888 лет².

2. Расчеты относительного изменения цены по формулам (11.3), (11.8), (11.9) для трех значений Δr приведены в таблице:

Δr	0,01	0,02	-0,01
Δr		Формула (11.3)	-0,025314	-0,049736	0,026248
Формула (11.8)		-0,025774	-0,051548	0,025774
Формула (11.9)		-0,025307	-0,049681	0,026241

Отрицательные значения

соответствуют падению цены при увеличении процентных ставок, положительные – ее росту при снижении процентных ставок. Из расчетов видно, что чем меньше величина Δr по абсолютной величине, тем ближе значения, получаемые по формулам (11.3) и (11.8). Значит, тем меньше ошибка в оценке изменения цены только с помощью дюрации облигации.
Свойства дюрации и показателя выпуклости облигации.

Дюрация облигации не превосходит срока до ее погашения Т.

Действительно,

,

где P(r) – рыночная стоимость облигации в момент t = 0, r – ее внутренняя доходность.

Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку до ее погашения.

Действительно, для чисто дисконтной облигации имеем

,

где A – номинал облигации. Тогда дюрация облигации равна

Если облигация не является чисто дисконтной, то чем больше внутренняя доходность облигации, тем меньше ее дюрация и показатель выпуклости.

Доказательство. Рассмотрим облигацию, по которой через t₁ , t₂,…, t_n лет от текущего момента времени t = 0 (0 < t₁ < t₂ < … < t_n) обещают выплатить денежные суммы С₁, С₂,…, С_n соответственно. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Покажем, что дюрация D и показатель выпуклости C облигации - это убывающие функции r. Согласно определению

.

Рассмотрим производную

.

Используем обозначения

.

Покажем, что a² – bc < 0 методом математической индукции по числу платежей n.

Основание индукции n = 2.

a² – bc =

=

=

, где t₂ > t₁.

Предположим, что утверждение верно для ( n – 1 ) платежей по облигации, т.е.

.

Пусть теперь число платежей по облигации равно n. Рассмотрим

a² – bc =

=

= (

) –

,

где

< 0 по предположению индукции.

, где 0 < t₁ < t₂ <…< t_n.

Следовательно a² – bc < 0 для всех целых n > 1. Значит,

.
^

Согласно определению, показатель выпуклости равен

.

Тогда

C

= D + B,

где

– дюрация облигации,

. Следовательно,

, где

. Покажем, что

.

Используем обозначения

.

Покажем, что ab – dc < 0 методом математической индукции по числу платежей n.

Если n = 2, то

, где 0 < t₁ < t₂.

Положим,

для ( n – 1 ) платежей по облигации, т.е.

.

Для n платежей по облигации имеем

по предположению индукции,

=

=

, где 0 < t₁ < t₂ <…< t_n.

Значит, ab – dc < 0 для всех целых n > 1. Следовательно

. Тогда

. Свойство доказано.

Если все платежи по облигации отсрочить на t₀ лет, не изменяя ее внутренней доходности r, то дюрация облигации увеличится на t₀ лет, а показатель выпуклости – на (t₀² + 2 t₀D + t₀ ) лет².

Доказательство. Дюрация исходной облигации

.

Дюрация облигации с отсроченными платежами

.

Таким образом,

= D + t₀. (11.12)

Показатель выпуклости исходной облигации

.

Показатель выпуклости облигации с отсроченными платежами равен

= C + 2 t₀D + t₀² + t₀ .

Таким образом,

= C + (t₀² + 2 t₀D + t₀ ). (11.13)

Свойство доказано.

Если до погашения облигации остается больше одного купонного периода, то при заданном значении внутренней доходности r дюрация облигации и показатель выпуклости тем больше, чем меньше купонная ставка.

Доказательство. Покажем, что дюрация облигации и показатель выпуклости – убывающие функции купонной ставки f .

Формула (11.6) для дюрации купонной облигации, продающейся через время

после купонной выплаты с доходностью к погашению r, когда до погашения остается n купонных выплат, имеет вид:

. (11.14)

Цена облигации

.

Используем обозначения

. (11.15)

Тогда

.

Рассмотрим производную дюрации по купонной ставке f.

,

так как

и по условию n > 1. Таким образом,

.

Показатель выпуклости купонной облигации равен

. (11.16)

Используем те же обозначения (11.15). Тогда

C =

1 2 3

Похожие:

	1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее... Факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности...		1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,... Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые...
	Лекция 3 Облигации Вопрос Экономическая характеристика облигации Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой...		Структура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,...
	92. Облигация. Определение, функции, свойства, разновидности Облигация может также предусматривать право ее владельца на получение фиксированного в ней процента от номинальной стоимости облигации...		1 Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным...
	Дополнительный материал: Облигации организации: экономическая сущность,... Облигация долговое обязательство эмитента, выпустившего ценную бумагу, уплатить владельцу облигации в оговоренный срок номинальную...		4. Абсолютные и относительные Статистический показатель представляет собой обобщающую количественную характеристику какого-либо свойства совокупности, группы....
	1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при... В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения...		Курсовая стоимость и доходность облигаций. Дюрация Макколея Необходимые и достаточные условия экстремума дважды непрерывно- дифференцируемой функции двух переменных

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы