1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации
Скачать 189.71 Kb.
|
| Рассмотрим производную B > 0 (следовательно ). С другой стороны, если n |
^   .Отсюда   .Таким образом,  . Свойство доказано.
6а.  . 6b. Если  , то последовательность {Dn} является возрастающей.6с. Если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей. Доказательство. 6а. Согласно (11.14), дюрация облигации при τ = 0, когда до погашения остается n купонных периодов, равна  . (11.17)Так как  ,  то  ,где  < 1. Поскольку  , то получаем  .Так как обычно r мало, то  .Тогда . (11.18)Заметим, что значение предела не зависит от купонной ставки облигации. 6b. Пусть . Для простоты будем считать, что платежи по облигации выплачиваются раз в год (m = 1) и до ее погашения остается n лет (τ = 0). Тогда дюрация купонной облигации равна .Используем обозначение  . Тогда .Так как  ,  , то ,где a = (1 – p)(1 – p – fp). Покажем, что  .Рассмотрим разность Dn+1 – Dn =   ==  ,где  . Покажем, что B > 0. Используем метод математической индукции по числу оставшихся до погашения облигации купонных платежей. Основание индукции n = 0. Тогда   .Заметим, что при n = 0 разность D1 – D0 = 1, т.к. D1 = 1 - дюрация облигации за год до погашения, когда она уже является чисто дисконтной, D0 = 0 - дюрация облигации в день погашения сразу после купонной выплаты. Предположим, что B > 0 при n = k, т.е.  .Пусть теперь n = k + 1. Рассмотрим     .По предположению индукции Bk > 0.   ,так как  ,   при  . Следовательно, Bk+1 > 0. Отсюда B > 0 для любого целого неотрицательного n. Значит, Dn+1 – Dn > 0. Утверждение доказано.На рис. 1.11.2 показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения при  , m = 1, τ = 0. Рис. 1.11.2 6с. Пусть  . Дюрация купонной облигации, платежи по которой выплачиваются раз в год (m = 1) и до погашения остается n лет (τ = 0), равна.Рассмотрим разность Dn+1 – Dn = ,где ,a = (1 – p)(1 – p – fp), .Преобразуем это выражение к виду:  . (11.19)Легко убедиться, что если  , то ^ > 0 (следовательно  ). С другой стороны, если n достаточно велико, например  , то B < 0 (следовательно, ). Действительно,   .Следовательно, существует срок, когда разность  изменяет знак. В качестве приближенного значения такого срока можно взять  (целую часть). Число  получено при условии, что  , когда выражение в квадратных скобках в (11.19) равно нулю. Равенство является приближенным с точностью до  . Следовательно, чем ближе значения r и f , тем точнее полученное данным методом значение  , что и подтверждается расчетами для r = 25% и ряда значений f.
Из выражения для n0 следует, что чем ближе значения r и f , тем больше срок n0. Кроме того, несложно убедиться, что чем больше купонная ставка f, тем больше n0. Эти выводы подтверждаются приведенными расчетами. Элементы последнего столбца в этой таблице получены из непосредственных вычислений дюрации облигации для различных значений n по формуле (11.17). Пример таких вычислений для купонных ставок f1 = 5% и f2 = 10% показан в следующей таблице:
Покажем, что если , то для любого  .Имеем  ,где .Установим знак B при условии .B    , так как и . Значит .Следовательно, если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей. Таким образом, если облигации A1, A2, …, Ak продаются с дисконтом и число периодов до их погашения n1 < n2 < …< nk < n0, то при прочих равных условиях Dn1 < Dn2 <…<  <  , где Dn1 , Dn2 ,…, – дюрации этих облигаций.Покажем, что значение дюрации  облигации со сроком погашения n0 удовлетворяет неравенству  , где  при m = 1 (см. пункт 6а). Предположим противное. Пусть  . Следовательно  . Отсюда, учитывая, что  при , получаем  . Противоречие, так как . Следовательно, при f < r характер зависимости дюрации облигации от срока до погашения имеет вид, показанный на рисунке 1.11.3. На этом рисунке показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения для купонных ставок  .  Рис. 1.11.3. |
Похожие:
 | 1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее... Факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности... | | 1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,... Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые... |
| Лекция 3 Облигации Вопрос Экономическая характеристика облигации Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой... | | Структура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,... |
| 92. Облигация. Определение, функции, свойства, разновидности Облигация может также предусматривать право ее владельца на получение фиксированного в ней процента от номинальной стоимости облигации... | | 1 Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным... |
| Дополнительный материал: Облигации организации: экономическая сущность,... Облигация долговое обязательство эмитента, выпустившего ценную бумагу, уплатить владельцу облигации в оговоренный срок номинальную... | | 4. Абсолютные и относительные Статистический показатель представляет собой обобщающую количественную характеристику какого-либо свойства совокупности, группы.... |
| 1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при... В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения... | | Курсовая стоимость и доходность облигаций. Дюрация Макколея Необходимые и достаточные условия экстремума дважды непрерывно- дифференцируемой функции двух переменных |