Скачать 189.71 Kb.
|
Рассмотрим производную B > 0 (следовательно ). С другой стороны, если n |
^ ![]() ![]() Отсюда ![]() ![]() Таким образом, ![]()
6а. ![]() 6b. Если ![]() 6с. Если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей. Доказательство. 6а. Согласно (11.14), дюрация облигации при τ = 0, когда до погашения остается n купонных периодов, равна ![]() Так как ![]() ![]() то ![]() где ![]() ![]() ![]() Так как обычно r мало, то ![]() Тогда ![]() Заметим, что значение предела не зависит от купонной ставки облигации. 6b. Пусть ![]() ![]() Используем обозначение ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() где a = (1 – p)(1 – p – fp). Покажем, что ![]() Рассмотрим разность Dn+1 – Dn = ![]() ![]() = ![]() где ![]() Покажем, что B > 0. Используем метод математической индукции по числу оставшихся до погашения облигации купонных платежей. Основание индукции n = 0. Тогда ![]() ![]() Заметим, что при n = 0 разность D1 – D0 = 1, т.к. D1 = 1 - дюрация облигации за год до погашения, когда она уже является чисто дисконтной, D0 = 0 - дюрация облигации в день погашения сразу после купонной выплаты. Предположим, что B > 0 при n = k, т.е. ![]() Пусть теперь n = k + 1. Рассмотрим ![]() ![]() ![]() ![]() По предположению индукции Bk > 0. ![]() ![]() так как ![]() ![]() ![]() ![]() На рис. 1.11.2 показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения при ![]() ![]() Рис. 1.11.2 6с. Пусть ![]() ![]() Рассмотрим разность Dn+1 – Dn = ![]() где ![]() a = (1 – p)(1 – p – fp), ![]() Преобразуем это выражение к виду: ![]() Легко убедиться, что если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, существует срок, когда разность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Из выражения для n0 следует, что чем ближе значения r и f , тем больше срок n0. Кроме того, несложно убедиться, что чем больше купонная ставка f, тем больше n0. Эти выводы подтверждаются приведенными расчетами. Элементы последнего столбца в этой таблице получены из непосредственных вычислений дюрации облигации для различных значений n по формуле (11.17). Пример таких вычислений для купонных ставок f1 = 5% и f2 = 10% показан в следующей таблице:
Покажем, что если ![]() ![]() ![]() Имеем ![]() ![]() где ![]() Установим знак B при условии ![]() B ![]() ![]() ![]() так как ![]() ![]() ![]() Следовательно, если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей. Таким образом, если облигации A1, A2, …, Ak продаются с дисконтом и число периодов до их погашения n1 < n2 < …< nk < n0, то при прочих равных условиях Dn1 < Dn2 <…< ![]() ![]() ![]() Покажем, что значение дюрации ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 1.11.3. |
![]() | 1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее... Факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности... | ![]() | 1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,... Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые... |
![]() | Лекция 3 Облигации Вопрос Экономическая характеристика облигации Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой... | ![]() | Структура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,... |
![]() | 92. Облигация. Определение, функции, свойства, разновидности Облигация может также предусматривать право ее владельца на получение фиксированного в ней процента от номинальной стоимости облигации... | ![]() | 1 Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным... |
![]() | Дополнительный материал: Облигации организации: экономическая сущность,... Облигация долговое обязательство эмитента, выпустившего ценную бумагу, уплатить владельцу облигации в оговоренный срок номинальную... | ![]() | 4. Абсолютные и относительные Статистический показатель представляет собой обобщающую количественную характеристику какого-либо свойства совокупности, группы.... |
![]() | 1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при... В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения... | ![]() | Курсовая стоимость и доходность облигаций. Дюрация Макколея Необходимые и достаточные условия экстремума дважды непрерывно- дифференцируемой функции двух переменных |