1. 12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации
Скачать 116.22 Kb.
|
| 1.12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации. До сих пор мы обсуждали рыночную цену облигации в момент t = 0 – момент покупки облигации. Рассмотрено влияние трех важнейших факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок на рынке является дюрация облигации, а показатель выпуклости показывает насколько точно дюрация оценивает эту чувствительность. Проблема оценки облигации существует не только тогда, когда облигация покупается или продается на рынке, но и когда она находится у владельца. Для оценки стоимости облигации через t лет после покупки, где t  [0, T], T лет – срок до погашения облигации, используется понятие стоимости инвестиции в момент t. Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tn = T лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…,Сn соответственно. Определение. Стоимость инвестиции в облигацию в момент t [0, ^ ] – это стоимость потока платежей по облигации С1, С2,…,Сn в момент t. Напомним, что определение стоимости потока платежей в момент t приведено в параграфе 1.4. Обозначим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки через P(t). Как следует из определения, P(t) - это сумма всех членов потока платежей по облигации, приведенных к моменту времени t. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn – моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и t [tm, tm + 1]. Тогда  , (12.1)где F(tk, t) - множитель наращения k – го платежа на временном отрезке [tk, t], k = 1, 2,. .., m; ν(t, tk) - дисконтный множитель k – го платежа на отрезке [t, tk], k = m + 1,…, n. Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию в момент t имеет две составляющие – результат реинвестирования поступивших до момента t платежей по облигации: Rt =  и рыночную цену облигации в момент t: Pt =  .Как следует из этих выражений, стоимость инвестиции в момент t = 0 - это рыночная цена покупки облигации, т.е. P(0) = P. Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки получают, исходя из следующих предположений: 1) все платежи, полученные от облигации до момента t, реинвестируются; 2) в момент t облигации данного выпуска имеются на рынке. Облигация, купленная t лет назад, может быть продана на рынке по существующей на этот момент времени рыночной цене Pt . ТогдаP(t) = Rt + Pt . (12.2) Очевидно, что Rt определяется набором годовых безрисковых ставок для инвестиций на сроки (t – t1), (t – t2) лет и т.д. для всех платежей по облигации до момента t. Рыночная цена Pt определяется количеством оставшихся до погашения платежей по облигации и временной структурой процентных ставок на момент t по временному диапазону (T – t) лет.Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно. Пусть t [ tm, tm + 1]. Тогда Rt =  , (12.3)Pt =  , (12.4)где r(t – t1), …, r(t – tm) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (t – t1), …, (t – tm) лет соответственно в моменты t1, t2,…, tm; r(tm + 1 - t), …, r(tn - t) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (tm+1 - t), …, (tn - t) лет соответственно в момент t. Пример 12.1. Дана облигация со следующим потоком платежей на момент покупки (t = 0):
Определить стоимость инвестиции в эту облигацию через 3,5 года после покупки для безрисковых процентных ставок, приведенных в таблице:
Результат реинвестирования поступивших до момента t = 3,5 платежей по облигации составляет Rt = 20(1 + 0,17)2,5 + 20(1 + 0,16)1,5 + 20(1 + 0,15)0,5 = 76,0486 (д.е.) ^ Pt =  = 119,2231(д.е.)Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через 3,5 года после ее покупки составит 76,0486 + 119,2231 = 195,2717 (д.е.). Теперь предположим, что в момент покупки облигации t = 0 временная структура процентных ставок такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Рассмотрим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки для двух случаев: 1) временная структура процентных ставок остается неизменной до погашения облигации; 2) сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину и стали равными  , а затем уже не менялись. Стоимость инвестиции в облигацию в момент t в первом случае называют планируемой и обозначают через P(r,t), во втором случае – фактической и обозначают через P( , t).Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции. 1. P(r, t) и P( , t) – непрерывные возрастающие функции времени:P(r, t) =  , (12.5)P( , t) = . (12.6)Действительно, согласно (12.2), P(r, t) = Rt(r) + Pt(r). Здесь Rt(r) – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке r, Pt(r) – планируемая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn – моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и t [tm, tm+1]. Тогда планируемая стоимость инвестицииP(r, t) =  +  ==  =  .Здесь P(r) =  – рыночная цена покупки облигации в момент t = 0, соответствующая существующей на этот момент времени временной структуре процентных ставок. Фактическая стоимость инвестиции в момент t согласно (12.2), равна P( , t) = Rt() + Pt().Здесь Rt( ) – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке , Pt() – фактическая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Выражение (12.6) для фактической стоимости инвестиции получаем аналогично:P( , t) =  +  ==  =  .Здесь P( ) =  – оценка облигации на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после покупки облигации. (12.5) и (12.6) – это показательные функции времени, основания которых больше единицы. Из элементарной математики известно, что такая функция является непрерывной и возрастающей. 2. Существует и притом единственный момент времени t*, когда фактическая стоимость инвестиции равна планируемой. Доказательство. Пусть > r. Рассмотрим момент t = 0. Тогда P() < P(r) (см. зависимость цена – доходность, теорема 9.1), или P( , 0) < P(r, 0). (12.7) Рис. 1.12.1 Рассмотрим теперь момент погашения облигации t = tn. Тогда P(r, tn) =  ,P( , tn) =  .Так как > r, то P( , tn) > P(r, tn). (12.8)Из неравенств (12.7) и (12.8) следует, что существует такой момент времени t*, когда P( , t*) = P(r, t*). Покажем, что момент t* является единственным. Предположим, что равенство стоимостей достигается в точках τ1 и τ2. СледовательноP( ,τ1) = P(r, τ1) и P(,τ2) = P(r, τ2). =  и  =  . Тогда  .Отсюда τ1 = τ2 = t*.  Рис. 1.12.2 Случай, когда < r, доказывается аналогично. Найдем t*.P( , t*) = P(r, t*), =  ,  .Отсюда t* =  . (12.9)3. Теорема 12.1 (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации). Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, t = D, фактическая стоимость инвестиции в облигацию не меньше планируемой, т.е. P( , D)  P(r, D) (12.10)для любых значений .Доказательство. Если после покупки облигации временная структура процентных ставок не изменилась, то = r и P(, D) = P(r, D). Если сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки изменились и стали равными , то в момент t = D фактическая стоимость инвестиции в облигацию P(, ^ ) является функцией . Согласно (12.6),P( , D) =  .Продифференцируем это выражение по : .Так как  =  (см. параграф 1.11), то .Пусть > r. Тогда по свойству 3 дюрации облигации D() < D(r) = D. Отсюда P(, D)/ > 0. Значит, P(, ^ ) – возрастающая функция . Следовательно,P(r, D) < P( , D).Если < r, то D() > D(r) = D. Тогда P(, D)/ < 0. Значит, P(, ^ ) – убывающая функция . Следовательно,P( , D) > P(r, D). (12.11)Таким образом, при любых значениях выполняется неравенство (12.10). Заметим, что при ≠ r неравенство является строгим, т.е. имеет вид (12.11). Теорема доказана. Замечание. На основании доказанной теоремы можно сформулировать иммунизирующее свойство дюрации облигации. Пусть в момент инвестирования t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, инвестиция в облигацию иммунизирована (защищена) против изменений безрисковых процентных ставок сразу после t = 0 на одну и ту же величину (или до момента t1 – первого платежа по облигации, в чем несложно убедиться). Таким образом, иммунизирующее свойство дюрации облигации имеет место при условии горизонтальности кривой доходностей и параллельности ее сдвигов. Следствие. Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r, а r1 и r2 – безрисковые процентные ставки сразу после t = 0. Тогда если r1 < r < r2, то t*(r2) < D < t*( r1). (12.12) Доказательство. Рассмотрим r1 < r. Согласно теореме P(r1, D) > P(r, D). Так как P(r1, D) = P(r1)(1 + r1)D и P(r, D) = P(r)(1 + r)D, то P(r1)(1 + r1)D > P(r)(1 + r)D. Отсюда  , .Так как r1 < r, то P(r1) > P(r),  ,  . Тогда D <  = t*(r1).Аналогично доказывается вторая часть неравенства (12.12).  Рис. 1.12.3 Пример 12.2. Дана 10% - ная купонная облигация номиналом 100 д.е., по которой ежегодно обещают производить купонные выплаты в течение трех лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10% годовых. Сразу после покупки облигации процентные ставки а) снизились до 9% годовых; б) увеличились до 11 % годовых. Найти: 1) планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации; 2) моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают. В таблице приведены расчеты цены P(r) и дюрации облигации D = D(r) на момент покупки облигации, где r = 10% годовых, а также величин P(r1) и P(r2), где r1 = 9%, r2 = 11% годовых.
Таким образом, дюрация облигации в момент ее покупки ^ = 2,73554 лет. Цена покупки P(0,1) = 100,00 д.е. Величины P(0,09) = 102,5313 д.е. и P(0,11) = 97,5563 д.е. – оценки облигации на момент t = 0, соответствующие новой временной структуре процентных ставок после t = 0. Тогда планируемая стоимость инвестиции в облигацию на момент времени t = D равна P(0,1; D) = P(0,1)(1 + 0,1)D = 129,7870. Фактические стоимости P(0,09; D) = P(0,09)(1 + 0,09)D = 129,7891. P(0,11; D) = P(0,11)(1 + 0,11)D = 129,7891. В обоих случаях фактическая стоимость инвестиции в момент t = D больше планируемой. В первом случае в момент t = D снижение ставки реинвестирования компенсировано ростом рыночной цены облигации в момент t = D по сравнению с планируемой. Во втором случае снижение рыночной цены в момент t = D вследствие роста процентных ставок компенсировано возросшей ставкой реинвестирования по сравнению с планируемой. 2) Моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают, равны соответственно t*(0,09) =  = 2,73726t*(0,11) =  = 2,73381.Таким образом, t*(0,11) < D < t*(0,09). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие:
 | 1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,... Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые... | | 1 Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным... |
| 92. Облигация. Определение, функции, свойства, разновидности Облигация может также предусматривать право ее владельца на получение фиксированного в ней процента от номинальной стоимости облигации... | | 1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при... В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения... |
| 1 Оценка эффективности инвестиционных проектов. Инвестиции и их виды Будем рассматривать только такие инвестиции, цели которых выражаются в денежной форме (максимизация дохода, состояния, прибыли и... | | Лекция 3 Облигации Вопрос Экономическая характеристика облигации Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой... |
| Структура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,... | | Временная обтурация корневых каналов Временная обтурация может быть кратковременной (до нескольких суток) и долговременной (до нескольких месяцев) |
| Виды стоимости, отличные от рыночной стоимости В постановлении Правительства РФ от 6 июля 2001 г. №519 «Об утверждении стандартов оценки» приведены следующие формулировки видов... | | 1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации Однако существует показатель, который позволяет оценить возможные значения величины, не производя вычислений цены облигации до и... |