Скачать 116.22 Kb.
|
1.12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации. До сих пор мы обсуждали рыночную цену облигации в момент t = 0 – момент покупки облигации. Рассмотрено влияние трех важнейших факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок на рынке является дюрация облигации, а показатель выпуклости показывает насколько точно дюрация оценивает эту чувствительность. Проблема оценки облигации существует не только тогда, когда облигация покупается или продается на рынке, но и когда она находится у владельца. Для оценки стоимости облигации через t лет после покупки, где t ![]() Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tn = T лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…,Сn соответственно. Определение. Стоимость инвестиции в облигацию в момент t ![]() Напомним, что определение стоимости потока платежей в момент t приведено в параграфе 1.4. Обозначим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки через P(t). Как следует из определения, P(t) - это сумма всех членов потока платежей по облигации, приведенных к моменту времени t. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn – моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и t ![]() ![]() где F(tk, t) - множитель наращения k – го платежа на временном отрезке [tk, t], k = 1, 2,. .., m; ν(t, tk) - дисконтный множитель k – го платежа на отрезке [t, tk], k = m + 1,…, n. Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию в момент t имеет две составляющие – результат реинвестирования поступивших до момента t платежей по облигации: Rt = ![]() и рыночную цену облигации в момент t: Pt = ![]() Как следует из этих выражений, стоимость инвестиции в момент t = 0 - это рыночная цена покупки облигации, т.е. P(0) = P. Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки получают, исходя из следующих предположений: 1) все платежи, полученные от облигации до момента t, реинвестируются; 2) в момент t облигации данного выпуска имеются на рынке. Облигация, купленная t лет назад, может быть продана на рынке по существующей на этот момент времени рыночной цене Pt . ТогдаP(t) = Rt + Pt . (12.2) Очевидно, что Rt определяется набором годовых безрисковых ставок для инвестиций на сроки (t – t1), (t – t2) лет и т.д. для всех платежей по облигации до момента t. Рыночная цена Pt определяется количеством оставшихся до погашения платежей по облигации и временной структурой процентных ставок на момент t по временному диапазону (T – t) лет.Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно. Пусть t ![]() Rt = ![]() Pt = ![]() где r(t – t1), …, r(t – tm) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (t – t1), …, (t – tm) лет соответственно в моменты t1, t2,…, tm; r(tm + 1 - t), …, r(tn - t) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (tm+1 - t), …, (tn - t) лет соответственно в момент t. Пример 12.1. Дана облигация со следующим потоком платежей на момент покупки (t = 0):
Определить стоимость инвестиции в эту облигацию через 3,5 года после покупки для безрисковых процентных ставок, приведенных в таблице:
Результат реинвестирования поступивших до момента t = 3,5 платежей по облигации составляет Rt = 20(1 + 0,17)2,5 + 20(1 + 0,16)1,5 + 20(1 + 0,15)0,5 = 76,0486 (д.е.) ^ Pt = ![]() Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через 3,5 года после ее покупки составит 76,0486 + 119,2231 = 195,2717 (д.е.). Теперь предположим, что в момент покупки облигации t = 0 временная структура процентных ставок такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Рассмотрим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки для двух случаев: 1) временная структура процентных ставок остается неизменной до погашения облигации; 2) сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину и стали равными ![]() Стоимость инвестиции в облигацию в момент t в первом случае называют планируемой и обозначают через P(r,t), во втором случае – фактической и обозначают через P( ![]() Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции. 1. P(r, t) и P( ![]() P(r, t) = ![]() P( ![]() ![]() Действительно, согласно (12.2), P(r, t) = Rt(r) + Pt(r). Здесь Rt(r) – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке r, Pt(r) – планируемая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn – моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и t ![]() P(r, t) = ![]() ![]() = ![]() ![]() Здесь P(r) = ![]() – рыночная цена покупки облигации в момент t = 0, соответствующая существующей на этот момент времени временной структуре процентных ставок. Фактическая стоимость инвестиции в момент t согласно (12.2), равна P( ![]() ![]() ![]() Здесь Rt( ![]() ![]() ![]() P( ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() Здесь P( ![]() ![]() – оценка облигации на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после покупки облигации. (12.5) и (12.6) – это показательные функции времени, основания которых больше единицы. Из элементарной математики известно, что такая функция является непрерывной и возрастающей. 2. Существует и притом единственный момент времени t*, когда фактическая стоимость инвестиции равна планируемой. Доказательство. Пусть ![]() ![]() P( ![]() ![]() Рис. 1.12.1 Рассмотрим теперь момент погашения облигации t = tn. Тогда P(r, tn) = ![]() P( ![]() ![]() Так как ![]() P( ![]() Из неравенств (12.7) и (12.8) следует, что существует такой момент времени t*, когда P( ![]() P( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() Отсюда τ1 = τ2 = t*. ![]() Рис. 1.12.2 Случай, когда ![]() P( ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда t* = ![]() 3. Теорема 12.1 (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации). Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, t = D, фактическая стоимость инвестиции в облигацию не меньше планируемой, т.е. P( ![]() ![]() для любых значений ![]() Доказательство. Если после покупки облигации временная структура процентных ставок не изменилась, то ![]() ![]() Если сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки изменились и стали равными ![]() ![]() ![]() P( ![]() ![]() Продифференцируем это выражение по ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() P(r, D) < P( ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() P( ![]() Таким образом, при любых значениях ![]() ![]() Замечание. На основании доказанной теоремы можно сформулировать иммунизирующее свойство дюрации облигации. Пусть в момент инвестирования t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, инвестиция в облигацию иммунизирована (защищена) против изменений безрисковых процентных ставок сразу после t = 0 на одну и ту же величину (или до момента t1 – первого платежа по облигации, в чем несложно убедиться). Таким образом, иммунизирующее свойство дюрации облигации имеет место при условии горизонтальности кривой доходностей и параллельности ее сдвигов. Следствие. Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r, а r1 и r2 – безрисковые процентные ставки сразу после t = 0. Тогда если r1 < r < r2, то t*(r2) < D < t*( r1). (12.12) Доказательство. Рассмотрим r1 < r. Согласно теореме P(r1, D) > P(r, D). Так как P(r1, D) = P(r1)(1 + r1)D и P(r, D) = P(r)(1 + r)D, то P(r1)(1 + r1)D > P(r)(1 + r)D. Отсюда ![]() ![]() Так как r1 < r, то P(r1) > P(r), ![]() ![]() D < ![]() Аналогично доказывается вторая часть неравенства (12.12). ![]() Рис. 1.12.3 Пример 12.2. Дана 10% - ная купонная облигация номиналом 100 д.е., по которой ежегодно обещают производить купонные выплаты в течение трех лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10% годовых. Сразу после покупки облигации процентные ставки а) снизились до 9% годовых; б) увеличились до 11 % годовых. Найти: 1) планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации; 2) моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают. В таблице приведены расчеты цены P(r) и дюрации облигации D = D(r) на момент покупки облигации, где r = 10% годовых, а также величин P(r1) и P(r2), где r1 = 9%, r2 = 11% годовых.
Таким образом, дюрация облигации в момент ее покупки ^ = 2,73554 лет. Цена покупки P(0,1) = 100,00 д.е. Величины P(0,09) = 102,5313 д.е. и P(0,11) = 97,5563 д.е. – оценки облигации на момент t = 0, соответствующие новой временной структуре процентных ставок после t = 0. Тогда планируемая стоимость инвестиции в облигацию на момент времени t = D равна P(0,1; D) = P(0,1)(1 + 0,1)D = 129,7870. Фактические стоимости P(0,09; D) = P(0,09)(1 + 0,09)D = 129,7891. P(0,11; D) = P(0,11)(1 + 0,11)D = 129,7891. В обоих случаях фактическая стоимость инвестиции в момент t = D больше планируемой. В первом случае в момент t = D снижение ставки реинвестирования компенсировано ростом рыночной цены облигации в момент t = D по сравнению с планируемой. Во втором случае снижение рыночной цены в момент t = D вследствие роста процентных ставок компенсировано возросшей ставкой реинвестирования по сравнению с планируемой. 2) Моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают, равны соответственно t*(0,09) = ![]() t*(0,11) = ![]() Таким образом, t*(0,11) < D < t*(0,09). |
![]() | 1 Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности,... Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые... | ![]() | 1 Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным... |
![]() | 92. Облигация. Определение, функции, свойства, разновидности Облигация может также предусматривать право ее владельца на получение фиксированного в ней процента от номинальной стоимости облигации... | ![]() | 1. 10. Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при... В предыдущем параграфе установлено основное свойство облигации ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения... |
![]() | 1 Оценка эффективности инвестиционных проектов. Инвестиции и их виды Будем рассматривать только такие инвестиции, цели которых выражаются в денежной форме (максимизация дохода, состояния, прибыли и... | ![]() | Лекция 3 Облигации Вопрос Экономическая характеристика облигации Осуществляя инвестирование в ценные бумаги с постоянным процентом, инвесторы рассчитывают, с одной стороны, ни низкий риск, в с другой... |
![]() | Структура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить,... | ![]() | Временная обтурация корневых каналов Временная обтурация может быть кратковременной (до нескольких суток) и долговременной (до нескольких месяцев) |
![]() | Виды стоимости, отличные от рыночной стоимости В постановлении Правительства РФ от 6 июля 2001 г. №519 «Об утверждении стандартов оценки» приведены следующие формулировки видов... | ![]() | 1. 11. Дюрация и показатель выпуклости облигации Однако существует показатель, который позволяет оценить возможные значения величины, не производя вычислений цены облигации до и... |