1 Предмет теории вероятностей
Скачать 1.26 Mb.
|
 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Теория вероятностей………………………………………………………………… 7 1.1. Предмет теории вероятностей………………………………………………… 7 1.2. Случайные события и вероятность…………………………………………… 7 1.2.1. Случайные события, виды случайных событий, основные понятия и определения…………………………………………. 7 1.2.2. Вероятность событий………………………………………………………. 10 1.2.3. Условная вероятность……………………………………………………… 13 1.2.3.1. Формула полной вероятности…………………………………………. 15 1.2.3.2. Формула Байеса………………………………………………………… 15 1.2.4. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)……… 17 1.3. Дискретные случайные величины……………………………………………. 18 1.3.1. Распределение вероятностей дискретных случайных величин …………. 18 1.3.2. Биномиальное распределение вероятностей……………………………… 20 1.3.3. Числовые характеристики …………………………………………………. 22 1.3.4. Моменты функций от случайных величин……………………………….. 25 1.3.5. Производящая функция моментов …………………………………….….. 26 1.3.6. Теорема Пуассона…………………………………………………………… 28 1.3.7. Локальная теорема Муавра – Лапласа…………………………………….. 29 1.4. Двумерные дискретные случайные величины……………………………….. 30 1.4.1. Распределение вероятностей………………………………………………. 30 1.4.2. Числовые характеристики…………………………………………………. 32 1.4.3. Линейное преобразование случайного вектора. Числовые характеристики…………………..………………………………………….. 36 1.4.4. Производящая функция моментов двумерного случайного вектора………………………………………………………………………... 37 1.5. Энтропия и информация (по Шеннону)…………………………………… 39 1.6. Непрерывные случайные величины………………………………………….... 43 1.6.1. Функция распределения и плотность распределения вероятностей……... 44 1.6.2. Числовые характеристики ………………………………………..………… 46 1.6.3. Дифференциальная (относительная) энтропия…………………………... 52 1.6.4. Характеристическая функция непрерывной случайной величины……… 54 1.6.5. Линейные функции непрерывных случайных величин………………..…. 56 1.6.6. Примеры плотности распределения непрерывных случайных величин… 57 1.6.6.1. Случайная величина – интервал времени между импульсами в простейшем потоке……………………………………………………... 57 1.6.6.2. Равномерная плотность распределения………………………………… 61 1.6.6.3. Плотность распределения Arcsin……………………………………….. 62 1.6.6.4. Нормальная плотность распределения (Гаусса)………………………. 63 1.6.6.5. Плотность распределения Лапласа…………………………………….. 67 1.6.6.6. Плотность распределения Коши……………………………………….. 69 1.6.6.7. Экспоненциальное семейство распределений…………………………. 70 1.6.7. Функции от непрерывных случайных величин…………………………… 71 1.6.8. Неравенство Чебышева………………………………….…………………. 76 1.7. Двумерные непрерывные случайные величины (двумерные случайные векторы) …………………………………………………………….. 78 1.7.1. Функции распределения и плотности распределения……………………. 78 1.7.2. Числовые характеристики………………………………………………….. 81 1.7.3. Ковариационная матрица случайного вектора……………………………. 85 1.7.4. Линейные функции случайных векторов………………………………….. 86 1.7.5. Характеристическая функция двумерного случайного вектора………….. 88 1.7.6. Плотность распределения суммы двух независимых случайных величин…………………………………………………………. 89 1.7.7. Двумерная нормальная плотность распределения……………………….. 90 1.8. Многомерный случайный вектор …………………………………………… 95 2. Математическая статистика………………………………………………………… 98 2.1. Задачи математической статистики…………………………………………… 98 2.2. Кондиционирование результатов экспериментов……………………………. 99 2..3. Точечное оценивание………………………………………………………….. 102 2.3.1. Оценивание квантилей……………………………………………………… 102 2.3.2. Точечное оценивание моментов…………………………………………… 104 2.3.2.1. Оценивание моментов по выборочной функции распределения……. 105 2.3.2.2. Оценивание моментов по выборочной плотности распределения (по гистограмме)………………………………………. 106 2.3.3. Оценивание параметров законов распределения…………………………. 108 2.3.4. Свойства точечных оценок…………………………………………………. 109 2.3.4.1. Свойства оценок математического ожидания ………………………… 110 2.3.4.2. Свойства оценок дисперсии…………………………………………….. 113 2.3.4.3. Свойства оценки математического ожидания случайного вектора…. 120 2.3.4.4. Оценка ковариационной матрицы случайного вектора………………. 121 2.3.5. Метод максимального правдоподобия…………………………………….. 122 2.3.6. Метод минимума  ……………………………………………………….. 1262.3.7. Оценивание коэффициентов аппроксимирующих полиномов………….. 128 2.3.7.1. Формулировка задачи………………………………………………….. 128 2.3.7.2. Измерения однократные……………………………………………….. 131 2.3.7.3. Плотность распределения величины  …………………………….. 1352.3.7.4. Практически важные замечания………………………………………. 136 2.3.7.5. Измерения многократные, характеристики погрешностей известны.. 138 2.3.7.6. Измерения многократные, характеристики погрешностей неизвестны……………………………………………………………… 140 2.3.7.7. Особенности вычислений при реализации МНК и ОМНК………….. 143 2.3.7.8. Основные принципы планирования эксперимента, выполняемого с целью полиномиальной аппроксимации…………………………….. 145 2.3.7.9. Расширение класса аппроксимирующих полиномов…………………. 146 2.4. Интервальное оценивание……………………………………………………… 147 2.4.1. Постановка задачи…………………………………………………………… 147 2.4.2. Доверительный интервал для вероятности………………………………… 148 2.4.3. Доверительный интервал для математического ожидания. Дисперсия генеральной совокупности известна…………………………… 151 2.4.4. Доверительный интервал для математического ожидания. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна………………………… 152 2.4.5. Доверительный интервал для дисперсии………………………………….. 154 2.4.6. Доверительные интервалы для интерквантильного промежутка……….. 155 2.4.6.1. Параметрические толерантные пределы………………………………. 155 2.4.6.2. Непараметрические толерантные пределы……………………………. 158 2.4.7. Бутстреп – оценивание……………………………………………………… 164 2.5. Статистические методы проверки гипотез…………………………………… 167 2.5.1. Постановка задачи и общие принципы…………………………………… 167 2.5.2. Критическая область и критическое значение……………………………. 168 2.5.3. Простые гипотезы…………………………………………………………… 170 2.5.4. Сложные гипотезы…………………………………………………………... 172 2.5.5. Проверка гипотезы о виде плотности распределения…………………….. 174 2.5.5.1. Критерий “хи - квадрат”………………………………………………… 174 2.5.5.2. Критерий Колмогорова – Смирнова…………………………………… 179 2.5.5.3. Критерий  Мизеса…………………………………………………… 1812.5.6. Проверка гипотез при полиномиальной аппроксимации………………… 183 2.5.6.1. Критерий Кочрена проверки гипотезы о равенстве дисперсий……… 183 2.5.6.2. Проверка гипотезы о степени аппроксимирующего полинома, характеристики погрешностей измерений известны………………… 184 2.5.6.3. Проверка гипотезы о степени аппроксимирующего полинома, характеристики погрешностей измерений неизвестны………………. 188 2.6. Последовательная полиномиальная аппроксимация с проверкой гипотезы о степени полинома…………………………………… 191 2.7. Проверка сложных гипотез о числовых характеристиках случайных величин с контролем вероятностей ошибок первого и второго рода……….. 194 2.7.1. Основные положения……………………………………………………….. 194 2.7.2. Проверка сложной гипотезы о математическом ожидании………………. 195 2.7.3. Проверка сложной гипотезы о дисперсии…………………………………. 201 2.7.4. Проверка сложной гипотезы об интерквантильном промежутке………… 204 2.7.5. Проверка сложной гипотезы о числовых характеристиках случайных величин с применением доверительных интервалов, построенных методом бутстреп……………………………………………. 208 2.7.6. Проверка сложной гипотезы о вероятности методом статистического последовательного анализа………………………………………………… 209 Библиографический список……………………………………………………………. 212 1. Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й ^ Теория вероятностей занимается установлением макрозакономерностей, которым подчиняются массовые однородные случайные события. Теория вероятностей не стремится предсказать единичное событие. ^ – события, которые происходят при осуществлении одних и тех же условий S и подчиняются определенным макрозакономерностям независимо от природы событий. Условия S необходимо подробно и тщательно описывать в каждом конкретном случае при постановке задаче исследования случайных событий. ^ 1.2.1. Случайные события, виды случайных событий, основные понятия и определения Событие называется случайным, если в результате испытаний при осуществлении некоторой совокупности условий S оно может произойти или не произойти. Под “испытанием” может пониматься проявление какого-либо природного явления или спланированный исследователем эксперимент над рукотворным или природным объектом. ^ – результат одного испытания в условиях S. Характеризационное свойство (признак) элементарных исходов: элементарные исходы взаимно исключают друг друга, и в результате каждого испытания может произойти только один из элементарных исходов. Обозначение элементарного исхода  .Примеры элементарных исходов: результат бросания монеты на идеальную плоскость; результат бросания игральной кости и выпадение на верхней грани какого-либо числа; результат одновременного бросания нескольких игральных костей и выпадение на верхних гранях всех костей определенной комбинации цифр. Все элементарные исходы, возможные при условиях S, образуют пространство элементарных исходов  :  , i = 1, 2, ... . Каждый элементарный исход влечет за собой появление какого-либо события. В общем случае событие A может произойти при появлении элементарных исходов, принадлежащих некоторому подмножеству  пространства ,  ? . Пусть в целях некоторого исследования сформулированы условия S и события  и  , которые могут произойти в результате испытаний при появлении элементарных исходов, принадлежащих подмножествам  и  , ?  , ? . Запишем это сопоставление событий и элементарных исходов в виде  ,  .Пусть в этих же условиях определено событие B следующим образом: “Событие B происходит или при осуществлении события , или при осуществлении события ”. При такой формулировке говорят, что событие B является объединением событий и  и записывают:  . В этом случае подмножество элементарных исходов, влекущих за собой событие B, есть объединение подмножеств и :  , где  .Если в этих же условиях принято, что событие B происходит, когда осуществляются события  , и  , то говорят, что событие B есть пересечение событий и , и записывают этот факт в виде  , причем и в этом случае  , где  .В дальнейшем для упрощения обозначений подмножество элементарных исходов  будем считать событием A, так же его обозначать, и вместо записи  или  будем писать A ? . Такое отождествление удобно использовать также для наглядного представления событий (см. рис. 1 – 3).Обычно пространство представляют внутренностью прямоугольника, каждая точка которой есть представление элементарного события. В этом случае совокупность элементарных событий  или  образует некоторые замкнутые фигуры внутри прямоугольника. Поскольку эти элементарные события отождествляются с порождаемыми ими событиями A и B взаимно однозначно, то в целях упрощения эти замкнутые фигуры обозначаются A и B соответственно.Случайные события могут образовывать классы событий, о чем пойдет речь ниже в разд. 1.2.2. Виды случайных событий: достоверное событие Т : (? ?  ) – событие, которое непременно происходит при появлении любого элементарного исхода в условиях S; невозможное событие ? – событие, которое не может произойти ни при одном элементарном исходе из пространства при условиях S; события A и B несовместны, если появление одного из них исключает появление другого из них, для несовместных событий можно записать: ,  ,  – пустое множество, или в упрощенных обозначениях : A ? , B ? , A  B = ?;события A и B противоположны, если они несовместны и A  B = Т, в этом случае пользуются обозначениями B =  или A =  ;события  образуют полную группу попарно несовместных событий, если при условиях S осуществляется только одно из этих событий и  ,  . |
Похожие:
 | Вопросы к экзамену по теории вероятностей для бф+Н Предмет теории вероятностей. Испытание и событие. Классификация событий. Классическое определение вероятности (полная группа событий,... | | Экзаменационные вопросы по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” Предмет теории вероятностей, элементарные исходы, случайные события, виды случайных событий, основные понятия и определения, вероятность... |
| Вопросы по теории вероятностей, V семестр Понятие о случайном процессе. Многомерные функции распределения случайного процесса. | | Задачи по теории вероятностей с решениями Комбинаторика ... |
| Методические рекомендации для выполнения самостоятельной внеаудиторной... Тема: «Элементы теории вероятностей» | | 1. Предмет и методология теории государства и права ... |
| V2: Основные понятия теории вероятностей Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет нечетное число очков, равна… | | Вопросы для подготовки к экзамену (4 сем) Основные понятия теории вероятностей. Случайные события, операции над событиями. Классическое определение вероятности события и ее... |
| 1: Предмет и метод экономической теории Синтез основан на соединении отдельных частей явления, изученных в процессе анализа в единое целое. Индуктивный метод познания идет... | | Перечень вопросов к экзамену по «микроэкономике» Предмет экономической теории. Макроэкономика и микроэкономика. Методы исследования в экономической теории |