1 Предмет теории вероятностей


Название1 Предмет теории вероятностей
страница2/9
Дата публикации12.04.2013
Размер1.26 Mb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9

1.2.2. Вероятность событий

Вероятность (осуществления) события – числовая характеристика возможности события при условиях ^ S. Если , то вероятность события А есть вероятностная мера множества , обозначается P(A).

Приведем математические определения вероятности события.

К л а с с и ч е с к о е о п р е д е л е н и е:

P(A) есть отношение количества случаев, благоприятствующих появлению события A, к общему числу испытаний.

Ч а с т о т н о е о п р е д е л е н и е:



где n – общее число выполненных испытаний, m – количество случаев появления события A при этих испытаниях.

С о в р е м е н н а я а к с и о м а т и к а (А. Н. Колмогоров):

^ P(A) – неотрицательная монотонная счетно-аддитивная мера возможности случайного события, такая, что P(T) = 1.

Пояснения к этой аксиоматике:

неотрицательность: P(A) ? 0;

монотонность: если A ? B то P(A) ? P(B), то есть, если при наступлении события A обязательно наступает событие B, но обратное необязательно, то P(A) ? P(B);

счетная аддитивность: если условия S определены, события попарно несовместны, то есть ?, , то

.

В современной теории вероятностная мера определяется на классах событий. Классы событий образуются таким образом, чтобы они давали возможность определить вероятностную меру вначале на простейших событиях, а затем распространить ее на события любой сложности. Для этого класс событий должен содержать в себе не только сходящиеся в этом классе последовательности событий, но также их пределы. Обозначим класс событий ?.

Если в условиях ^ S события принадлежат классу событий ?, и счетное объединение и счетное пересечение этих событий также принадлежит этому классу, то есть

и ,

то этот класс событий называется алгеброй событий.

Если в этих же условиях , и , то такой класс событий называется сигма-алгеброй (?-алгеброй).

П р и м е р и з п л а н и м е т р и и. Класс всех многоугольников образует алгебру многоугольников, поскольку пересечение счетного количества многоугольников есть также многоугольник. Дополнение этого класса бесконечными пересечениями и объединениями многоугольников, что мы делали для определения меры (площади) круга, привело к образованию сигма-алгебры, и это позволило с помощью предельного перехода распространить меру (площадь) на геометрические фигуры, которые не являются многоугольниками, но суть пределы, к которым стремятся бесконечные сходящиеся последовательности многоугольников при их объединении и пересечении.

В итоге в соответствии с современной аксиоматикой теории вероятностей говорят, что случайные события и вероятностная мера этих событий определены тройкой: (?, ?, P), где фигурируют введенные обозначения пространства элементарных событий, сигма-алгебры событий и вероятностной меры на них [4].

Для иллюстрации введенных понятий и свойств вероятностной меры, как было указано ранее, прибегают к геометрическому представлению событий в виде замкнутых фигур внутри прямоугольника, который представляет собой пространство элементарных событий ?. Вероятностная мера событий отождествляется с площадью соответствующих фигур с учетом того, что вероятностная мера всего прямоугольника равна единице.

Это представление событий и вероятностей показано на рис. 1, который иллюстрирует свойства монотонности (рис. 1, а) и счетной аддитивности (рис. 1, б) вероятностной меры.



Из аксиоматики Колмогорова следует:

а) ;

б) ?, откуда следует: P(T)=1=P(T)+P(?)=1+P(?),

и, наконец, P(?)=0;

в) A??, B ??, A и B противоположны, то есть AB = ?, AB = Т;

тогда P(AB) = P(A)+P(B) = P(T) = 1 , откуда , то есть

, ;

г) пусть A??, B ?? и события пересекаются, то есть ?.

В этом случае вероятность объединения событий не равна сумме вероятностей. Для вывода формулы представим объединение пересекающихся событий A и B в виде объединения трех непересекающихся событий (рис. 2): .

Точно так же представим события

A и B:   ,.

К этим выражениям можно применить аксиому счетной аддитивности вероятностной меры:

,

, ,

откуда следует, что и .

Подставляя эти два выражения в первое, окончательно получим

=

=.

Очевидно, что в случаях, когда события несовместны, то есть не пересекаются,

,

а в общем случае всегда .
^ 1.2.3. Условная вероятность

Пусть, как всегда, A ? , B ? и сформулированы условия S.

Условная вероятность есть вероятность осуществления одного из событий при условии, что другое событие состоялось. Обозначение условных вероятностей:

^ P(B/A) – условная вероятность события B при условии осуществления события A;

P(A/B) – условная вероятность события A при условии осуществления события B.

Найдем условную вероятность, например, P(B/A) с помощью классического определения вероятности по разд. 1.2.2. Для этого необходимо знать общее количество n предполагаемых испытаний, в результате которых могут осуществиться события A, B, AB.

Общее количество исходов, при которых возможна реализация условного события^ B/A, определяется исключительно числом появления события A, поскольку если оно не осуществится, то не осуществится и условное событие B/A. Пусть m – число исходов, благоприятствующих появлению события A. Понятно, что в общем случае .

В результате предполагаемых испытаний событие ^ B может появиться и без появления события A, но условное событие B/A осуществляется только при совместном появлении событий A и B. В связи с этим число случаев, благоприятствующих появлению события AB, равно количеству случаев, благоприятствующих появлению события ^ B/A или события A/B. Обозначим это количество s.

Тогда в соответствии с классическим определением вероятности

P(В/А)=,

то есть

.

Таким образом, условная вероятность P(В/А) определяется, как

.

Точно так же

.

Из полученных выражений следует, что

.

События A и B независимы, когда P(B/A)=P(B) и P(A/B)=P(A).

Отсюда следует формулировка признака независимости случайных событий:

события A и B независимы тогда и только тогда, когда

P(AB)=P(A)P(B).

В самом деле, при таком соотношении

.

Если A и B связаны взаимно однозначно, то m=s, а потому

P(AB)=P(A)=P(B), P(B/A)=1, P(A/B)=1.

^ 1.2.3.1. Формула полной вероятности

Пусть при условиях S в возможно событие A. Кроме того в определена полная группа попарно непересекающихся событий , i=1, 2, ..., n, то есть

?, .

Данная ситуация представлена на рис. 3. Из предъявленных соотношений следует, что

.

Воспользовавшись аксиомой Колмогорова о счетной аддитивности вероятностной меры и математическим определением условных вероятностей, получим:

.

Таким образом получена формула полной вероятности:



в которой события именуются гипотезами.
^ 1.2.3.2. Формула Байеса

Воспользовавшись формулой условной вероятности и формулой полной вероятности, получим ценную для многочисленных приложений формулу Байеса:

.

Формула Байеса эффективно используется при исследованиях природных явлений, при исследованиях и испытаниях рукотворных объектов в условиях неопределенности математической модели исследуемых объектов и действия мешающих случайных воздействий. В этих условиях события, происходящие при исследованиях, неоднозначно связаны со свойствами и параметрами объектов.

Пусть – гипотезы (предположения) исследователя о свойствах или параметрах исследуемого объекта, рукотворного или природного. Эти гипотезы могут иметь одинаковый или различный приоритет, который выражается путем задания значений вероятностей . Эти вероятности в данной ситуации суть априорные вероятности гипотез .

В результате эксперимента или исследования событие A происходит с той или иной вероятностью. Это событие исследователь фиксирует, и по нему он должен вынести суждение об оправданности того или иного априорного предположения (гипотезы). В силу действия случайных факторов и неопределенности математической модели объекта однозначные причинно-следственные связи между предположениями (гипотезами) исследователя и результатами испытаний размыты. После выполнения эксперимента (испытания) фиксируется событие A. В этой ситуации можно оценить условные вероятности возможности реализации события A при справедливости каждой из гипотез. Таким образом после эксперимента правая часть формулы Байеса может быть рассчитана, и формула Байеса дает возможность оценить апостериорную вероятность той или иной гипотезы при условии, что результатом эксперимента оказалось событие A.

Естественно принять в качестве наиболее правдоподобного то предположение (гипотезу), апостериорная вероятность которого окажется наибольшей. Такое правило принятия решения, которое основано на применении формулы Байеса, называется байесовским. Этой же формулой порожден принцип максимума апостериорной вероятности, который часто и эффективно используется в теории и практике систем автоматического регулирования, при математической обработке результатов измерений, при идентификации объектов.

Наиболее широкое применение байесовский принцип максимума апостериорной информации находит в системах передачи информации по каналам связи, в которых велика вероятность искажения передаваемых символов и сообщений. Обычно это цифровые каналы. В них на передающей стороне применяется избыточное кодирование сообщений, а на приемной стороне устанавливается байесовский декодер, реализующий указанный байесовский принцип в реальном времени.
^ 1.2.4. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

При постоянных условиях S выполняется n независимых испытаний. Результатом каждого испытания может быть только одно из двух противоположных событий: A или . Введем обозначения для вероятностей этих событий: P(A) = p, P() = q = 1 - p.

Требуется найти вероятность того, что при указанных условиях событие ^ A произойдет ровно m раз. Комбинаций, в которых событие A произойдет ровно m раз, может быть несколько. Реализация каждой такой комбинации – сложное событие, которое представляет собой последовательность событий A и .

Обозначим эти сложные события буквой B, индекс у которой будет соответствовать номеру одной из возможных последовательностей:
=

. . . . . . . . . . . . . . . .

=

. . . . . . . . . . . . . . . .

= .

Общее количество таких последовательностей равно числу сочетаний из n по m, поскольку порядок следования их элементов неразличим, то есть

.

События попарно несовместны, поэтому в соответствии с аксиомой о счетной аддитивности

,

но независимо от i , поэтому вероятность того, что при n независимых испытаниях событие A появится ровно m раз, равна

.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

1 Предмет теории вероятностей iconВопросы к экзамену по теории вероятностей для бф+Н
Предмет теории вероятностей. Испытание и событие. Классификация событий. Классическое определение вероятности (полная группа событий,...
1 Предмет теории вероятностей iconЭкзаменационные вопросы по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика”
Предмет теории вероятностей, элементарные исходы, случайные события, виды случайных событий, основные понятия и определения, вероятность...
1 Предмет теории вероятностей iconВопросы по теории вероятностей, V семестр
Понятие   о   случайном    процессе.   Многомерные   функции                     распределения    случайного    процесса.    
1 Предмет теории вероятностей iconЗадачи по теории вероятностей с решениями Комбинаторика
...
1 Предмет теории вероятностей iconМетодические рекомендации для выполнения самостоятельной внеаудиторной...
Тема: «Элементы теории вероятностей»
1 Предмет теории вероятностей icon1. Предмет и методология теории государства и права
...
1 Предмет теории вероятностей iconV2: Основные понятия теории вероятностей
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет нечетное число очков, равна…
1 Предмет теории вероятностей iconВопросы для подготовки к экзамену (4 сем)
Основные понятия теории вероятностей. Случайные события, операции над событиями. Классическое определение вероятности события и ее...
1 Предмет теории вероятностей icon1: Предмет и метод экономической теории
Синтез основан на соединении отдельных частей явления, изученных в процессе анализа в единое целое. Индуктивный метод познания идет...
1 Предмет теории вероятностей iconПеречень вопросов к экзамену по «микроэкономике»
Предмет экономической теории. Макроэкономика и микроэкономика. Методы исследования в экономической теории
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница