1 Предмет теории вероятностей
Скачать 1.26 Mb.
|
^ Случайная величина – функция случайного события, ? = f(?). Область определения функции – пространство элементарных исходов ?, область значений – все вещественные числа. Дискретная случайная величина – случайная величина, которая может принимать только счетное множество значений. ^ Пусть  ,  , ...,  – полная группа непересекающихся событий  , которые могут возникать при выполнении некоторых испытаний в условиях S. P ,  , ..., – вероятности событий .Пусть также каждому из событий по какому-либо правилу поставлено во взаимно однозначное соответствие вещественное число  . Так мы определили вещественную функцию случайных событий. При выполнении испытаний эта функция будет принимать значения  ,  , . . . ,  с вероятностями  .Таким образом определена дискретная случайная величина ? набором значений, которые она может принимать, и набором вероятностей, с которыми она может принимать эти значения:  .Векторная запись этого определения экономнее:  , где  – вектор значений  , , ...,  ,  – вектор вероятностей  . Совокупность значений представляет собой наиболее полное описание дискретной случайной величины и называется распределением вероятностей.Поскольку случайные события образуют полную группу непересекающихся событий,  Наряду с распределением вероятностей в теории вероятностей используется еще одна полная характеристика случайных величин, а именно, функция распределения вероятностей: F(x) = P(?  ).На рис. 4 приведен пример графического представления распределения вероятностей и функции распределения вероятностей дискретной случайной величины. Распределение вероятностей дискретной случайной величины изображается решетчатой функцией, высота каждого вертикального отрезка пропорциональна вероятности, с которой случайная величина принимает соответствующее значение. Как следует из математического определения, функция распределения является неубывающей ступенчатой функцией. Каждый скачок этой функции происходит при значениях, которые может принимать случайная величина, а высота этих скачков пропорциональна соответствующим вероятностям. Примером дискретной случайной величины может служить величина, порожденная бросанием шестигранной игральной кости. Случайным событием является положение кости на плоскости, которое она принимает в результате ее бросания на эту плоскость. Число вариантов этих положений – шесть, и если кость выполнена в виде идеального куба, то эти положения равновероятны. Правило, в соответствии с которым каждому такому случайному событию сопоставлено число, реализовано путем нанесения на грани кости целых чисел от одного до шести. Таким образом определена случайная величина  .Поскольку все вероятности одинаковы, распределение вероятностей подобного вида называется равномерным распределением, а соответствующая случайная величина – равномерно распределенной случайной величиной. Графическое представление такого распределения – решетчатая функция с отрезками равной высоты. Высота ступенек функции распределения одинакова. ^ Схема Бернулли порождает дискретную случайную величину, а именно количество случаев появления события A в последовательности n независимых испытаний. Множество значений, которые может принимать эта случайная величина: m = 0, 1, 2, 3, ..., n. Вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения:  . Для того чтобы убедиться, является ли набор этих вероятностей распределением, просуммируем их с использованием формулы бинома Ньютона: .Таким образом, случайная величина, порожденная испытаниями по схеме Бернулли, задана своими значениями и распределением вероятностей:  Это распределение называется биномиальным распределением. Для того чтобы представить вид этого распределения, исследуем его на максимальное значение. Для этого вычислим отношение двух соседствующих значений вероятностей:  .Выясним интервал возрастания вероятности, то есть интервал, в котором  .В этом неравенстве все сомножители, делимые и делители больше нуля, поэтому его решение не вызовет у читателя затруднений. В результате получим, что интервал монотонного возрастания вероятности простирается от m = 0 до m = Ent[np+p-1], где Ent[ ? ] – целая часть числа. Точно так же отыскивается область монотонного убывания:  ,откуда получаем, что монотонное убывание вероятности начинается от значения m = Ent[np+p]. Итак, мы нашли, что наибольшее значение вероятность  в схеме Бернулли принимает при значении m, ближайшем к np. А это в свою очередь означает, что ближайшее целое к np есть наиболее вероятное значение количества появления события A в схеме Бернулли.^ Распределение вероятностей случайной величины – это максимально полная ее характеристика, но в то же время очень громоздкая. Кроме того вид распределения реальных случайных величин, которые порождаются техническими причинами в измерительных системах, системах автоматизации, системах передачи и приема информации, чувствителен к неконтролируемым случайным факторам. Поэтому в технических приложениях чаще всего используются не распределения вероятностей, а числовые характеристики расположения случайной величины на числовой оси, разброса ее значений и других свойств. В качестве таких характеристик применяются моменты распределения вероятностей. Это название вызывает естественное желание применить механическую модель, которой мы будем пользоваться при изложении нижеследующего материала. Механическая система, моделирующая распределение вероятностей, может быть представлена в виде жесткого невесомого стержня (числовая ось), на которую нанизаны точечные массы, расположенные в точках  ,  ,...,  . Значения вероятностей  моделируются, как значения массы (или веса) этих точек. Таким образом эти точечные массы придают описанной механической системе вращающий момент относительно начала координат. В качестве характеристики расположения всех значений случайной величины на оси естественно использовать координату центра тяжести описанной механической системы. Как известно из теоретической механики, координата центра тяжести системы определяется из условия равенства моментов: вращающего момента, создаваемого точечными массами, и противодействующего момента, который должна создавать равнодействующая сила, приложенная к центру тяжести. Итак, пусть  – веса точечных масс, то есть силы, создающие вращающий момент относительно начала координат. Тогда отрезки [0,], [0,], ..., [0,] – плечи. Равнодействующая сила равна сумме сил, создаваемых точечными массами. Если  – координата центра тяжести, то отрезок [0, ] – плечо равнодействующей силы. Уравнение моментов имеет вид ,  .Отсюда следует, что  ,где  – первая из характеристик распределения вероятностей и самой случайной величины, которая имеет два равноправных названия: математическое ожидание случайной величины ? и первый начальный момент случайной величины ?. Для обозначения математического ожидания используют также равноправное обозначение M[?].Рассеяние, разбросанность по числовой оси построенной нами механической системы – аналога распределения вероятностей – не зависит от расположения центра тяжести и характеризуется моментом инерции системы относительно ее центра тяжести. Напомним, что момент инерции точки относительно оси вращения пропорционален массе точки и квадрату ее расстояния от оси. Применительно к распределению вероятностей эта характеристика называется вторым центральным моментом распределения (случайной величины) или дисперсией случайной величины, вычисляется по очевидной формуле для моментов инерции и имеет несколько равноправных обозначений:  ,где  – среднеквадратическое значение (отклонение) случайной величины.Понятно, что если величина не случайна, а потому в любых обстоятельствах может принимать только одно значение с вероятностью 1, то ее дисперсия будет равна нулю. Кружок над обозначением момента означает, что этот момент вычисляется относительно центра тяжести. В теории вероятностей, в отличие от механики, широко используются начальные и центральные моменты более высокого порядка: начальные моменты порядка k :  ;центральные моменты порядка k:  .Найдем несколько полезных соотношений. Вначале вычислим первый центральный момент:  ,чего и следовало ожидать. Найдем теперь соотношение между вторыми моментами: начальным и центральным.   =  .Поскольку  и  , окончательно получим .Размерность моментов k-го порядка есть k-ая степень размерности значений, которые принимает случайная величина. Например, размерность дисперсии есть квадрат размерности значений случайной величины. ^ Очевидно, что любая нетривиальная функция от случайной величины есть также случайная величина. Пусть определена взаимно однозначная функция ? = f(?). Если случайная величина ? задана в виде  ,то случайная величина ? будет представлена своими значениями и их вероятностями следующим образом:  ,где  .Моменты случайной величины ? записываются очевидным образом: начальные  ;центральные  .Рассмотрим полезный для приложений частный случай линейной функции случайной величины, а именно функцию ? = a? + b.  .Полученное выражение показывает, что математическое ожидание линейной функции от случайной величины есть функция от математического ожидания этой величины:  .Найдем второй центральный момент, то есть дисперсию этой функции:  .В терминах и в обозначении дисперсий это соотношение имеет вид: D[a? + b] =  .Как и следовало ожидать, из этого выражения следует, что смещение значений случайной величины не влияет на ее дисперсию. Пусть  . Тогда  .Пусть  . Тогда  .^ Производящей функцией моментов случайной величины ? называется математическое ожидание функции y(?) = exp(??), где ? – аргумент производящей функции моментов:  .Производящая функция моментов обладает рядом полезных свойств. 1)  ;2) Первая производная от  по аргументу ? : , при ? = 0 получим  ;3) Вторая производная от по аргументу ? : , при ? = 0 получим ;4) k -я производная от по аргументу ? : , при ? = 0 получим .Таким образом, чтобы получить значение k-го начального момента, достаточно продифференцировать производящую функцию моментов k раз по ? и подставить в полученную производную ? = 0. П р и м е р. Написать производящую функцию моментов для биномиального распределения и вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биномиальному закону.  .Первая производная от по ? .Вторая производная от по ?  .Вычислим эти производные при ? = 0:  ,  .Окончательно получим: M[m] = np, D[m] = np(1 – p) = npq. Сопоставляя полученное выражение для математического ожидания числа появления события A в испытаниях по схеме Бернулли с наиболее вероятным значением этого числа, видим, что они совпадают. З а м е ч а н и е о сходимости распределений вероятности и производящих функций моментов. Пусть имеется последовательность распределений вероятностей дискретной случайной величины  .Пусть  – производящие функции соответствующих распределений  из этой последовательности, которые также образуют последовательность  Если последовательность сходится, имеет предел и пределом этой последовательности является распределение  , то последовательность также сходится, имеет предел, и ее пределом является производящая функция моментов предельного распределения. Справедливо и обратное утверждение.Обратим внимание на то, что конструкция производящей функции моментов близка конструкции обратного дискретного преобразования Фурье, отсюда вытекают полезные свойства производящих функций моментов и близость их свойств свойствам дискретного преобразования Фурье. |
Похожие:
 | Вопросы к экзамену по теории вероятностей для бф+Н Предмет теории вероятностей. Испытание и событие. Классификация событий. Классическое определение вероятности (полная группа событий,... | | Экзаменационные вопросы по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” Предмет теории вероятностей, элементарные исходы, случайные события, виды случайных событий, основные понятия и определения, вероятность... |
| Вопросы по теории вероятностей, V семестр Понятие о случайном процессе. Многомерные функции распределения случайного процесса. | | Задачи по теории вероятностей с решениями Комбинаторика ... |
| Методические рекомендации для выполнения самостоятельной внеаудиторной... Тема: «Элементы теории вероятностей» | | 1. Предмет и методология теории государства и права ... |
| V2: Основные понятия теории вероятностей Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет нечетное число очков, равна… | | Вопросы для подготовки к экзамену (4 сем) Основные понятия теории вероятностей. Случайные события, операции над событиями. Классическое определение вероятности события и ее... |
| 1: Предмет и метод экономической теории Синтез основан на соединении отдельных частей явления, изученных в процессе анализа в единое целое. Индуктивный метод познания идет... | | Перечень вопросов к экзамену по «микроэкономике» Предмет экономической теории. Макроэкономика и микроэкономика. Методы исследования в экономической теории |