1 Предмет теории вероятностей


Название1 Предмет теории вероятностей
страница4/9
Дата публикации12.04.2013
Размер1.26 Mb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9

^ 1.3.6. Теорема Пуассона

Проанализируем асимптотическое поведение вероятности появления m событий в схеме Бернулли при n ? ?, np = const = ?. Цель – упрощение вычислений, трудоемкость которых сильно возрастает с ростом n.

Задача состоит в нахождении предела последовательности:

.

Из равенства np = ? следует, что p = . Кроме того,





.

В полученном выражении первый сомножитель не содержит n. Предел последнего сомножителя при n ? ? равен . Пределы остальных сомножителей при n ? ? равны 1. В результате получаем асимтотическое представление вероятностей из схемы Бернулли, или, что то же самое, биномиального распределения, в виде

.

Этот результат получен Пуассоном и успешно применяется для расчета вероятностей редких событий (при n ? ? вероятность p стремится к 0) при массовых явлениях (испытаниях, опытах).

Полученные предельные значения вероятностей образуют в совокупности распределение вероятностей случайной величины. В самом деле,

.

Это распределение называется распределением Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины равны

M[m] = D[m] = ? = np.

Производящая функция распределения Пуассона:

.


.3.7. Локальная теорема Муавра-Лапласа


В отличие от теоремы Пуассона теорема Муавра-Лапласа посвящена установлению асимптотики для вероятностей событий по схеме Бернулли при n ? ? и при p = const.

Здесь без вывода и доказательства приводится результат, полученный Муавром и Лапласом.

Напомним, что в разд. 1.3.5 были получены следующие выражения для математического ожидания и дисперсии случайной величины: числа появления события A при n испытаниях по схеме Бернулли

M[m] = np, D[m] = npq = np(1-p),

где p – вероятность появления события A при одном испытании.

В соответствии с локальной теоремой Муавра-Лапласа значения вероятностей при n ? ? и p = const аппроксимируются функцией

.

Эта функция симметрична и имеет максимум при m = np.

^ 1.4. ДВУМЕРНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.4.1. Распределение вероятностей

Будем рассматривать двумерную случайную величину как двумерный случайный вектор

.

Компонентами вектора ζ являются дискретные случайные величины ? и ?, которые могут принимать значения и соответственно. Реализации вектора ζ будем обозначать вектором z.

При каждом испытании компоненты вектора ζ могут принимать значения с вероятностью совместного осуществления двух событий . В дальнейшем будем пользоваться упрощенными обозначениями этой вероятности в виде или .

Кроме того, заметим, что события образуют полную группу попарно несовместных событий. То же самое можно утверждать и о событиях .

Представим совместное распределение вероятностей в виде таблицы 1.

События , , ..., не пересекаются, а их объединение есть не что иное, как событие . Поэтому, суммируя элементы этой таблицы по строкам, в соответствии с аксиомой аддитивности (см. разд. 1.2.2) получим значения вероятностей . По этой же причине суммирование элементов таблицы по столбцам даст значения вероятностей .
^ Таблица 1

Совместное рaспределение вероятностей дискретного случайного вектора


?

?







. . .




. . .




Маргинальное распределение случайной величины ?









. . .




. . .















. . .




. . .







. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .









. . .




. . .







. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .









. . .




. . .








Тот же результат мы получим, если определим условные вероятности

,

и поскольку события и образуют полные группы попарно несовместных событий, применим формулу полной вероятности

,

.

Сумма всех вероятностей .

Мы получили маргинальные (частные) распределения случайных компонент ? и ? (см. также разд. 1.3.1):

; .

Признак независимости случайных компонент вектора ζ: случайные компоненты ? и ? вектора ζ независимы тогда и только тогда, когда их совместное распределение вероятностей может быть представлено как произведение маргинальных (частных) распределений (см. также разд. 1.2.3): .

^ 1.4.2. Числовые характеристики

Числовые характеристики, а именно моменты отдельных составляющих вектора ζ определяются через маргинальные (частные) распределения точно так же, как для одномерной (скалярной) дискретной случайной величины:

начальные моменты k-го порядка

, ,

в частности, математические ожидания

,;

центральные моменты k-го порядка

,

,

в частности, дисперсии

,

.

Для составляющих случайного вектора определены смешанные моменты:

начальные моменты порядка k, r

;

центральные моменты порядка k, r

.

Особое значение для дальнейшего имеет центральный смешанный момент порядка (1, 1), который называется корреляционным моментом или ковариацией:



.

Для того чтобы установить соотношение между центральным и начальным смешанными моментами раскроем скобки в последнем выражении и выполним несложные преобразования:

.

Окончательно получим .

Если ? и ? независимы, то



.

Но, как было установлено в разд. 1.3.3, и , поэтому центральный смешанный момент независимых случайных величин равен нулю. Однако из того, что = 0, независимость случайных величин ? и ?, вообще говоря, не следует. О случайных величинах, корреляционный момент которых равен нулю, говорят, что они не коррелированы. Для оценки степени коррелированности случайных величин в приложениях удобнее использовать безразмерный коэффициент корреляции . Его значение не зависит от масштаба, в котором выражены значения случайных величин:

.

С целью определения диапазона значений коэффициента корреляции рассмотрим крайний случай взаимно однозначной зависимости между ? и ?, а именно допустим, что ? = a? + b. Другой крайний случай, а именно независимость ? и ?, рассмотрен ранее в настоящем разделе.

Из предположенной линейной зависимости следует (см. также разд. 1.3.4):

, ,

.

После простых преобразований получим

,

.

Таким образом, мы установили, что коэффициент корреляции не превышает единицу по абсолютной величине: .

Математическое ожидание случайного вектора – вектор, составляющие (компоненты) которого суть математические ожидания соответствующих компонент:

.

Дисперсии компонент случайного вектора ζ и их ковариации объединяют в ковариационную матрицу следующим образом:

.

В теории вероятностей часто используется корреляционная матрица, которая получается из ковариационной матрицы путем деления ее элементов на произведение среднеквадратических значений:

.

Эти матрицы симметричны и неотрицательно определены. Если компоненты случайного вектора независимы или хотя бы не коррелированы, матрицы и диагональны.

Математическое определение ковариационной матрицы:

,

где ‘Т’ - символ транспонирования.

Раскроем это выражение.



.

Математическое ожидание случайной матрицы есть матрица, элементы которой суть математические ожидания:

=

,

с чем мы уже ознакомились в настоящем разделе.

^ 1.4.3. Линейное преобразование случайного вектора.

Числовые характеристики

Общий вид линейного преобразования случайного вектора есть умножение его на матрицу и добавление произвольного неслучайного вектора:

.

Раскроем это преобразование:

.

Вычислим вначале математическое ожидание от первой составляющей первого из векторов:



.

Точно так же

.

Поэтому

.

В соответствии с математическим определением ковариационной матрицы



.

Таким образом, если случайный вектор ζ претерпевает преобразование , то математическое ожидание и ковариационная матрица результата такого преобразования вычисляются по формулам

, .

Мы снова убеждаемся в том, что ковариационная матрица не зависит от смещения, которое задается вектором b.

Рассмотрим в качестве примера важный частный случай. Пусть матрица A имеет вид , а вектор . Тогда ? – скаляр (? = ), и ковариационная матрица также вырождается в скаляр, а именно в дисперсию, которую будем обозначать Най­дем математическое ожидание и дисперсию случайной величины ?, пользуясь полученными формулами.

,



.

Перемножив эти два вектора, окончательно получим



Частные случаи:

случайные величины ? и ? независимы или хотя бы не коррелированы, тогда ;

коэффициенты a = b = 1, то есть случайная величина ? есть сумма двух не коррелированных случайных величин ? и ? , тогда , то есть дисперсия суммы не коррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

1 Предмет теории вероятностей iconВопросы к экзамену по теории вероятностей для бф+Н
Предмет теории вероятностей. Испытание и событие. Классификация событий. Классическое определение вероятности (полная группа событий,...
1 Предмет теории вероятностей iconЭкзаменационные вопросы по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика”
Предмет теории вероятностей, элементарные исходы, случайные события, виды случайных событий, основные понятия и определения, вероятность...
1 Предмет теории вероятностей iconВопросы по теории вероятностей, V семестр
Понятие   о   случайном    процессе.   Многомерные   функции                     распределения    случайного    процесса.    
1 Предмет теории вероятностей iconЗадачи по теории вероятностей с решениями Комбинаторика
...
1 Предмет теории вероятностей iconМетодические рекомендации для выполнения самостоятельной внеаудиторной...
Тема: «Элементы теории вероятностей»
1 Предмет теории вероятностей icon1. Предмет и методология теории государства и права
...
1 Предмет теории вероятностей iconV2: Основные понятия теории вероятностей
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет нечетное число очков, равна…
1 Предмет теории вероятностей iconВопросы для подготовки к экзамену (4 сем)
Основные понятия теории вероятностей. Случайные события, операции над событиями. Классическое определение вероятности события и ее...
1 Предмет теории вероятностей icon1: Предмет и метод экономической теории
Синтез основан на соединении отдельных частей явления, изученных в процессе анализа в единое целое. Индуктивный метод познания идет...
1 Предмет теории вероятностей iconПеречень вопросов к экзамену по «микроэкономике»
Предмет экономической теории. Макроэкономика и микроэкономика. Методы исследования в экономической теории
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница