Вопросы к экзамену по курсу


Скачать 56.51 Kb.
НазваниеВопросы к экзамену по курсу
Дата публикации05.05.2013
Размер56.51 Kb.
ТипВопросы к экзамену
userdocs.ru > Математика > Вопросы к экзамену
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ

«СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ»

Группы МЭ-51

2012/2013 учебный год, зимняя экзаменационная сессия

Лектор – доцент Шнурков П.В.
Раздел 1. Понятие случайного процесса. Случайный процесс как математический объект.

  1. Понятие случайного процесса. Стохастическая модель изменяющейся во времени (динамической) системы. Первый подход к определению случайного процесса (аналитическое определение).

Идейная основа первого подхода. Случайный процесс как функция двух переменных величин различной природы. Траектория (выборочная функция) случайного процесса.

  1. Классификация случайных процессов по характеру множества значений параметра времени Т и множества состояний Х.

  2. Конечномерные распределения процессов и их свойства.

  3. Системы подмножества заданного множества. Понятие алгебры и сигма-алгебры множеств. Измеримое пространство.

  4. Вероятностное пространство и вероятностная мера. Множество элементарных исходов случайного элемента. Система случайных событий, связанных с данным экспериментом, как сигма-алгебра подмножеств множества элементарных исходов. Вероятностная мера. Аксиомы Колмогорова. Общее понятие вероятностного пространства.

  5. Случайная величина как измеримая функция, заданная на вероятностном пространстве(формальное определение). Понятие измеримого отображения и его смысл для стохастической модели.

  6. Выборочное вероятностное пространство или пространство траекторий (схема построения). Алгебра цилиндрических множеств. Сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами. Вероятностная мера, задаваемая на указанной сигма-алгебре.

  7. Второй подход к определению случайного процесса (аксиоматическое определение). Идея второго подхода. Формальное определение случайного процесса как измеримого отображения. Общее значение аксиоматического определения для построения теории случайного процесса.

  8. Система согласованных вероятностных мер (определение). Теорема Колмогорова о системе согласованных вероятностных мер (формулировка). Особенности теоремы Колмогорова и ее теоретическое значение.

  9. Стохастическая эквивалентность случайных процессов. Понятие модификации и его значение. Сравнительные свойства траекторий стохастически эквивалентных процессов (анализ на основе теоретического примера).

  10. Фундаментальные проблемы теории Колмогорова, связанные с различными свойствами траекторий стохастически эквивалентных процессов. Общая схема построения модели случайного процесса с заданными аналитическими свойствами траекторий отражающими объективно существующие особенности реальной системы.

^ Раздел 2. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Общие свойства. Классификация состояний.

  1. Общее понятие марковского процесса. Марковский процесс с дискретным множеством состояний (классическое определение). Формализация понятий прошлого и будущего. Сигма-алгебры, порожденные траекториями процесса. Вариант марковсткого свойства (условная независимость двух произвольных событий из прошлого и будущего).

  2. Вероятности перехода марковской цепи и их свойства. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Вероятностный смысл данных свойств.

  3. Теорема о предоставлении произвольного распределения вероятностей марковской цепи через вероятности перехода.

  4. Матричные представления для вероятностей перехода марковской цепи (матрицы вероятностей перехода). Матричная формула уравнения Колмогорова-Чепмена. Представление матриц вероятностей перехода за конечное время через матрицы вероятностей перехода за единицу времени.

  5. Однородные цепи Маркова. Определение понятия однородности. Представление для произвольного конечномерного распределения однородной марковской цепи через вероятность перехода за единицу времени (за один шаг процесса). Матричные формулы для вероятностей перехода за конечное время.

  6. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Способы задания марковской цепи с помощью вероятностных характеристик.

Задание произвольных конечномерных распределений и начальных условий для марковской цепи.

  1. Теоремы об оценках вероятностей перехода марковской цепи (доказательство теоремы 1).

  2. Связи между состояниями. Понятия пути и достижимости. Транзитивность достижимости. Сообщающиеся состояния.

  3. Классы состояний. Теорема о разбиении множества состояний на классы. Замкнутые и незамкнутые классы.

  4. Существенные и несущественные состояния (определение). Свойства состояний марковской цепи, связанные с существенностью (формулировка теорем).

  5. Возвратные и невозвратные состояния марковской цепи. Необходимое и достаточное условие возвратности (аналитический критерий). Теорема о необходимых условиях невозвратности (без доказательства).

  6. Альтернатива солидарности для свойства возвратности (доказательство).

  7. Случайные моменты времени, в которые происходит возвращение марковской цепи в произвольное фиксированное состояние.

  8. Теорема о числе возвращений марковской цепи в возвратное и невозвратное состояния (без доказательства).

  9. Следствия из теоремы о числе возвращений. Случайная длительность пребывания марковской цепи в конечном невозвратном классе состояний. Общая характеристика эволюции марковской цепи с конечным множеством состояний.

  10. Теорема о связи свойств существенности и возвратности (доказательство).

  11. Вероятность перехода из фиксированного состояния i в произвольное состояние j за произвольное конечное число шагов(формальное определение). Теорема о переходах внутри возвратного класса (без доказательств).

  12. Положительные и нулевые состояния (определение). Альтернатива солидарности для свойства положительности.

  13. Теорема о связи свойств возвратности и положительности.

  14. Теорема о свойствах конечного замкнутого класса (доказательство).

  15. Анализ связей между свойствами существенности, возвратности и положительности для конечного и счётного классов состояний. Обоснование при помощи известных теоретический утверждений.

  16. Периодичность. Понятие периода и периодического состояния. Альтернатива солидарности для свойства периодичности.

  17. Альтернатива солидарности марковской цепи для основных свойств состояний (полное доказательство).

  18. Поглощающие цепи Маркова. Теорема о представлении матрицы M = (mij). Следствие: представление аддитивного функционала среднего дохода за время до поглощения при различных начальных условиях.

  19. Поглощающие цепи Маркова. Теорема о представлении матрицы В = (bik).

Раздел 3. Цепи Маркова. Предельные и стационарные распределения.

  1. Предельные, эргодические и стационарные распределения марковской цепи (определения). Свойство стационарности марковской цепи (свойство стационарности в узком смысле).

  2. Теорема о достаточных условиях стационарности марковской цепи в виде условий на начальное распределение (формулировка).

  3. Понятие стационарного (устойчивого) режима в системе, описываемой марковским процессом. Условие, достаточное для перехода к стационарному режиму.

  4. Эргодические теоремы для переходных вероятностей марковской цепи (без доказательства).

  5. Необходимые и достаточные условия эргодичности конечной марковской цепи (доказательство теоремы).

  6. Необходимые условия существования пределов вероятностей перехода счетной марковской цепи, связь с существованием стационарного распределения (альтернатива). Анализ утверждений теоремы.

  7. Необходимые и достаточные условия существования единственного стационарного распределения счетной марковской цепи (формулировка и анализ утверждений теоремы). Дополнительные утверждения, связанные со свойством существования стационарного распределения, и их теоретическое значение.

  8. Необходимые и достаточные условия существования предельного распределения счетной марковской цепи (формулировка и анализ результата). Вариант основной теоремы для конечной марковской цепи.

  9. Необходимые и достаточные условия эргодичности счетной марковской цепи (без доказательства). Связь с аналогичными утверждениями для конечной марковской цепи.

  10. Необходимые и достаточные условия существования стационарного, предельного и эргодического распределений конечной марковской цепи. Обоснование основных утверждений теоремы и их теоретической значение.

  11. Аддитивные функционалы доходов на траекториях марковских цепей. Эргодическая теорема для аддитивных функционалов (без доказательства). Значение данной теоремы для исследования экономических показателей функционирования систем, описываемых марковскими процессами.

Похожие:

Вопросы к экзамену по курсу iconВопросы к экзамену по курсу "Криминалистика"
Примерные вопросы к экзамену по курсу "Криминалистика" специальность 021100 "Юриспруденция"
Вопросы к экзамену по курсу iconТесты по курсу «Криминология» Контрольные вопросы к экзамену
Примерный перечень тем и методические рекомендации для выполнения курсовых и дипломных работ по курсу «Криминология»
Вопросы к экзамену по курсу iconВопросы к экзамену по курсу «Социология»

Вопросы к экзамену по курсу iconВопросы к экзамену по курсу «Экономика»

Вопросы к экзамену по курсу iconВопросы к экзамену по курсу «Общая психология»
...
Вопросы к экзамену по курсу iconВопросы к экзамену по курсу «Мировая политика» (профессор Васецкий Н. А.)

Вопросы к экзамену по курсу iconВопросы к экзамену по курсу: «Методология и методы психолого-педагогических исследований»

Вопросы к экзамену по курсу iconПримерные вопросы к экзамену по курсу История стран Европы и Америки (часть I) I курс мо

Вопросы к экзамену по курсу iconВопросы к экзамену по курсу фориСО*
Боеприпасы автоматического артиллерийского вооружения. Классификация и требования
Вопросы к экзамену по курсу iconВопросы к экзамену по курсу
Методика оценки соответствия индивидуальных особенностей работника организационной культуры
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница