ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
вопросы к Экзамену 1 семестр:
1.
|
Матрицы, основные понятия. Действия над матрицами (кроме умножения матриц).
Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа.Матрицей размера m на n (записывается так  )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа -номер строки и номер столбца.
Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицыобозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами:  - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом
Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:
 - множество всех матриц размера m на n;
 - матрица A с элементами в позиции (i,j);
 - матрица размера m на n.
Элементы , где i=j, называются диагональными, а элементы , где  - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов  , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.
Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица.
Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.
Матрица размера  называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера  называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.
Сложение (вычитание) матриц
Суммой (разностью) матриц А и В, в каждой из которых m строк и n столбцов, называется матрица С с элементами, равными суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых:
Пример. Найти сумму матриц  и  .
Решение. .
|
2.
|
Виды матриц. Умножение матриц.
Определение. Таблица m x n чисел aij вида
 , состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.
Числа aij, стоящие на пересечении i-й строки и j-го столбца, называются элементами матрицы.
Матрицы А=(аij) и В=(bij) называются равными, если они имеют одинаковые размеры и для каждой пары индексов выполняется равенствоaij= bij.
Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:
 .
Матрица, у которой m=n, называется квадратной матрицей n-го порядка.
В квадратной матрице элементы a11, а22, … аnn составляют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной:
 .
1. Умножение матрицы на число
Произведением матрицы  на число λ называется матрица  .
Пример. Найти произведение матрицы  на число λ=3.
 .
2.Умножение матриц
Пусть даны матрица  размерности  и
матрица  размерности  .
Пусть число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В (в этом случае матрицу А называют согласованной с матрицей В).
Произведением матрицы А на матрицу В называется такая матрица  размерности , каждый элемент которой  находится как сумма произведений элементов, взятых по порядку из i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
Пример. Найти произведение матриц  и  .
Решение:   .
Пример. Найти произведение матриц 
Решение:  .
Еще раз отметим, что в матрице-произведении число строк равно числу строк матрицы А и число столбцов равно числу столбцов матрицы В.
|
3.
|
^
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы и представляет собой число, которое находится по определенному правилу через элементы, составляющие данную матрицу.
Для квадратной матрицы  n-го порядка определитель n-го порядка обозначается символом:
 Δ= . (1)
В определителе различают строки и столбцы. Числа aij( i=1,…,n; j=1,…,n) называются элементами определителя.
Определение. Минором Мij элемента аij определителя (1) называется определитель (n-1)-го порядка, который получается из определителя Δ путем вычеркивания i-ой строки из j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент аij.
Определение. Алгебраическим дополнением А ij элемента аij называется произведение (-1)i+ jМij.
Не вводя строгое понятие определителя, дадим лишь правило его нахождения.
Определитель Δ = n-го порядка находится по формуле:
Δ  (2)
где i - любое из чисел 1,2,…, n, А ij – алгебраическое дополнение элемента а ij .
Найдем по формуле (2) определитель 2-го порядка, выбрав, например, i=1: Δ =  .
Из формулы (2) следует, что вычисление определителей >N-го порядка сводится к вычислению определителей ( >n-1)-го порядка (т.е. миноров). Те, в свою очередь, опять по формуле (2) сводятся к определителям (n-2)-го порядка. Процесс нахождения определителей продолжается до получения миноров 2-го или 1-го порядка. Запись (2) называется разложением определителя по элементам i-ой строки.
Пример. Вычислить определитель третьего порядка Δ =  .
Решение: 
 .
Разложение было выполнено по элементам 1-ой строки.
Заметим, что если некоторые элементы строки, по элементам которой производится разложение, равны нулю, то вычисление значительно упрощается. Обычно, пользуясь свойствами определителя, преобразуем его таким образом, чтобы в выбранной строке (выбранном столбце) все элементы кроме одного, равнялись нулю.
|
4.
|
^
Величина определителя не меняется от замены строк столбцами (проверьте самостоятельно). Из этого свойства следует, что определитель можно найти, разлагая его также и по элементам какого-либо столбца: Δ =  , где j - номер любого из столбцов.
Если любую строку или столбец матрицы умножить на некоторое число, то определитель также умножится на это число. При этом общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Величина определителя не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженные на произвольное одинаковое число.
Пример: Вычислить определитель четвертого порядка:
Δ =  .
Решение.
1) Вынесем из второго столбца за знак определителя общий множитель 2; умножим первую строку на (–4) и сложим со второй строкой; умножим первую строку на (–3) и сложим с третьей; умножим первую строку на (–2) и сложим с четвертой, получим:
Δ =  .
Вынесем за знак определителя из третьей строки общий множитель 2, получим определитель
Δ =  .
Разложим определитель Δ по элементам первого столбца, получим определитель третьего порядка, который вычислим, разлагая его по элементам 1-й строки:
|
5.
|
Обратная матрица.
Определение. Квадратная матрица n-го порядка называется невырожденной, если ее определитель n-го порядка Δ  . Если определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.
Определение. Матрица В называется обратной для данной квадратной матрицы ^ , если АВ =ВА=Е, где Е – единичная матрица. Обратную матрицу для данной матрицы А обозначают А-1, поэтому:
А-1=А-1 А=Е.
Если квадратная матрица невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица.
Пусть задана квадратная матрица
 .
Тогда обратная матрица А-1 находится следующим образом:
 ,
где Δ – определитель матрицы А, Аij – алгебраическое дополнение элемента а ij ( i =1,…, n ; j =1, …, n ). Необходимо обратить внимание, что, находя алгебраические дополнения к элементам строк матрицы А, в обратной матрице А-1 мы записываем их по соответствующим столбцам.
Пример. Найти матрицу, обратную матрице  .
Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.
Решение. Определитель матрицы А вычислен ранее:
Δ =  .
Так, как Δ  , то матрица А невырожденная и для нее существует обратная.
Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:
Следовательно: 
Проверка: 
Ответ:  .
| |
