5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02


Скачать 92.93 Kb.
Название5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02
Дата публикации23.06.2013
Размер92.93 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
1. Приведите примеры: а) послед-и, сходящейся к числу -9; б) ограниченной послед-и, не имеющей предела.

Число а называется пределом числовой послед-и {Xn}, если для любого положительного числа ε существует номер N из множества Ñ такой, что для любого n ≥ N выполняется неравенство: | Xn – a | < ε

√ ε > 0, сущ. N є Ñ, √ n ≥ N => | Xn – a | < ε

А) Xn = (-9n+1)/n, lim (n→∞) (-9n+1)/n = -9

б) Xn = (-1)ⁿ - ограничена (-1), не имеет предела

2. Докажите, исходя из определения предела послед-и, то lim (n→∞) 6n/n+7 = 6.

| Xn – a | < ε

|6n/n+7 - 6| < ε, |-42/n+7| < ε, 42/n+7 < ε, n+7/42 >1/ε, n> (42-7ε)/ε, ^ N = [42/ε - 7] +1

3(12). Докажите, что сходящаяся послед-ь имеет только один предел

От противного Предп, что некоторая послед-ь {Xn} имеет 2 разл предела а и b, a ≠ b.

Выберем столь малые окрестности т. a и b, чтобы они не имели общ точек. Т.к. lim Xn = a, все Xn, начиная с нек номера n1, содержатся в выбран окрестности т. а;

точно так же из lim Xn = b, следует, что все Xn, начиная с нек номера n2, содержатся в выбранной окрестности т. b. Положим, n0 = max {n1, n2}. Тогда числа Xn с номерами n≥ n0 должны принадлежать как первой, так и второй окрестности, что невозможно, так как окрестности не имеют общих точек.

4(13). Докажите ограниченность сход послед-и

док-во:

Пусть lim Xn = a. Положим ε = 1 и найдем номер n0, начиная с которого | Xn – a | < 1, т. е. -1>Xn – a<1 для n≥ n0. Отсюда следует а-1>Xn<а+1 для всех n≥ n0. Заменим отрезок [а-1; а+1] таким отрезком [А;В], чтобы в него попали не только числа Xn, n≥ n0, но и все числа х1, х2,…хn0. Тогда будем иметь хn є [А;В] для всех n є N, что означает ограниченность множества {Хn}.
5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02

Послед-ь называется ограниченной сверху, если существует число m, такое, что любой элемент Xn этой послед-и удовлетворяет неравенству m ≥ Xn.

Предел послед., огранич. сверху числом 6, не может быть равным 6,02, но может быть равным 5,98, так как мы можем брать только числа меньше 6 (6≥Xn ).

6(4). Что можно сказать о пределе суммы двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, сумма которых сходится.

1) Алгебраическая сумма двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен сумме пределов послед-ей {Хn} и {Уn}.

lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn + Уn) = a + b.

2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход.

bn = (-1)^(n+1): 1; -1; 1; -1…- расход.

lim (n→∞) (an + bn) = 0

7.(5) Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, произведение которых сходится.

1) Произведение двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен произведению пределов послед-ей {Хn} и {Уn}.

lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn * Уn) = a * b.

2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход.

bn = -1/2, 1/2, -2/3, 2/3, -3/4, 3/4: (-n/ n + 1)ⁿ

lim (n→∞) (an * bn) = 1 – сход. (1/2, 1/2, 2/3, 2/3…).

8(15). Может ли послед-ь {Xn + Yn} сходиться, если послед-ь {Xn} сходится, а послед-ь {Yn} расходится? Ответ обоснуйте.

нет, не может: С + ∞ = ∞

Xn = (1/2)ⁿ: 1/2, 1/4…

Yn = (-1)ⁿ: -1, 1..

-1 + ½ = -1/2; -1 + 1/8 = -7/8 – сход. к (-1)

1 + ¼ = 1 ¼; 1 + 1/16 = 1 1/16 – сход. к 1

{Xn + Yn} – расход.

^ 9(6). Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью.

Послед-ь {αn} называется бм, если lim (n→∞) αn = 0.

Для любого ε > 0, сущ. N, такое, что для любого n ≥ N | αn | < ε.

а) 1/n, 1/ ^4√n – бм послед-и: ^4√n/ n = n^-3/4 – бм послед-ь

б) n/ ^4√n = n^3/4 - не бм послед-ь

10.(14) Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.

док-во:

Пусть {Хn} – ограниченная, а {αn} – бм послед-и. Доказать, что {Xn * αn} – бм. Так как {Хn} ограниченна, то существует число А > 0 такое, что любой элемент Хn удовлетворяет неравенству | Хn | ≤ А. Возьмем любое ε > 0. Поскольку {αn} – бм, то для положительного числа ε/А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | αn | < ε/А. Тогда при n > N |Xn * αn | = |Xn| * | αn | < A * ε/A = ε. Это означает, что послед-ь {Xn * αn} – бм.

11(10). Докажите, что предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если последние существуют.

Из условия lim u=a, lim v=b следует u=a+α, v= b+β.

Рассмотрим u×v=( a+α)(b+β)=ab+bα+aβ +αβ → u×v=ab+µ → lim u×v=a×b

^ 12. (7)Дайте определение бесконечно большой (бб) послед-и. Что означает запись «lim (n→∞) Xn = +∞»? Докажите, исходя из определения, что lim(n→∞) √n + 12 = +∞.

1) Послед-ь {Xn} называется бб, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |Xn| > A. (lim (n→∞) Xn = ∞ ).

Для любого A > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: |Xn| > A.

2) Если, начиная с некоторого номера, все Xn > 0, то lim (n→∞) Xn = +∞ (Xn > A).

3) √n + 12 > A => √n + 12 > 0 => lim (n→∞) √n + 12= +∞; N = [A² -12] + 1.

13. (8)Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.

Любая бб послед-ь является неограниченной. Однако неограниченная послед-ь может и не быть бб послед-ью. Например, неограниченная послед-ь 1, 2, 1, 3 .., 1, n, 1, n + 1 … не является бб, поскольку при А > 1 неравенство |Xn| > A не имеет места для всех элементов Xn с нечетными номерами.

16. Докажите, что функция f(x) = sin 1/x не имеет предела в точке x = 0.

lim (x→0) sin 1/x по Гейне lim (n→∞) Xn = X0, lim(x→0+0) 1/x = +∞, lim(x→0-0) 1/x = - ∞

lim (x→0+0) sin 1/x – не сущ. sin (x→0-0) 1/x – не сущ.

17. Может ли функция f(x) +g(x) быть непрерывной в точке х0, если функция f(x) непрерывна, а функция g(x) имеет разрыв в этой точке, а функция g(x)имеет разрыв в этой точке. ответ обоснуйте.

Нет. Так как есть теорема, в которой говорится. Если f(x) и g(x)- непрерывные функции в точке x0, то непрерывными являются .

.f(x)=c-является непрерывной и f(x)=x.

18 Найдите значение а, при котором функция f(x) = x arctg (1/x), x≠0, является непрерывной в точке x=0.

lim (x→ x0) f(x) = f(x0)

является непрерывной в точке x = 0

следовательно

следовательно а=0

27(19).определение производной в точке Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x0(∆x=x-x0). Производной функции в точке x0 называется lim , когда (при условии, что lim существует). Обозначение .

30. Общие правила дифференцирования.











( f (g (x)) )’ = f ‘(g(x)) · g ‘ (x)




Найдите, исходя из

определения, производную функции f(x) в точке x0:

26. f(x) = x3, x0 - произвольное число.

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f(x)= =

f(x) = x3

f ′(xо)= = ===3

^ 27(20). f(x)=sinx, xо-произвольное число

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ′(xо)= = = =cosx0

28(19 Ч2). f(x)=, xо =9

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ’(x)= = ==1/6

29.(21) f(x)=, xо =1

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ’(x)= = ===-2

30.(22) f(x)=xx, x0=0

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =



31.(23)

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f(x)= =
39.(27) f(x) = 3x , x0 = 5.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется предел

E(x)=

40(28)Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.

Э

ластичность произведения ф-ий и в точке равна сумме эластичностей ф-ций в этой же точке: . Эластичность равна Ey=x(lny)

Д


ок-во: Пусть тогда .

42.(29) Сформулируйте теорему Ролля. Можно утвержд, что производная функции f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) обращается в нуль в трех точках интервала (2,5)?

Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Можно.

f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0, f(5)=0 => существует С1из (2;3), такое, что f'(C1)=0, и тд 2, 3, 5, 4

43.(34) Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′(x) = 0 на интервале (a,b), то функция f (x) постоянна на этом интервале.

Пусть функция f(x)

  1. непрерывна на отрезке [a, b];

  2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)

 



=>

45.(30) Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из теоремы Коши утверждение теоремы Лагранжа.

Пусть функции f(x) и g(x)

  1. непрерывны на отрезке [a, b];

  2. дифференцируемы в интервале (a, b);

"x О (a, b) g'(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что

 .

Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа.

34. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.

Если 2 функции U и V дифференцированы в некоторой точке, то тогда ф-я, равная Y=U+V, также будет иметь производную, равную Y’=U’V+UV’

Док-во:

Y= =

Т.к. U(x0+x)= U + U = U(X0)+U, аналогично для V

Раскрываем скобки и группируем



32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?

Если функция U=f(x) дифференцирована в некоторый точке x=x0, то она непрерывна в этой точке.

Это условии необходимое, но недостаточное.

Доказательство: пусть функция u= f(x) дифференцирована, тогда существует =а, тогда =а+(x), где (x) – б.м.

Тогда y=xа + x(x), y = ( f(x0) x +x) = 0 в силу непрерывности.

46(36) Дайте определение многочлена Тейлора ф-ции f(x) в точке x0. Чему равны его производные в этой точке? Укажите какой-либо многочлен P(x), удовлетворяющий условиям: .

Пусть ф-ция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен называется n-многочленом Тейлора ф-ции f(x) в точке x0.

Найдем производные:





аналогично

таким образом, для любого n, от 1 до к, выполняется равенство:



36. .

Дифференциалом функции в точке х0 называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При x0, dy=y’x или

= , 25= x0, 0,12=x => f(x)= => f’(x)=1/10



5+0.1*0.12=5.012

37. ln1,09.

Дифференциалом функции в точке х0 называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При x0, dy=y’x или



ln(1+0,09)= ln1+1*0.09=0.09

Похожие:

5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 iconN = [42/ε 7] Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может...
Приведите примеры: а послед-и, сходящейся к числу -9; б ограниченной послед-и, не имеющей предела
5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 icon1. Дайте определение предела послед-и. Приведите примеры: а послед-и,...
...
5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 iconПрямой узел можно вязать двумя способами
Ходовые концы должны быть длиной 15—20 см, чтобы можно было завязать контрольные узлы (рис. 54, д). Если один ходовой конец будет...
5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 iconУстав
Общество с ограниченной ответственностью «Рога и Копыта», именуемое в дальнейшем «Общество», создано в соответствие с фз «Об обществах...
5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 icon2. Предмет и цели деятельности
Общество с ограниченной ответственностью "xxx" создано для осуществления финансово-хозяйственной деятельности в соответствии с Главой...
5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 iconОбщество с ограниченной с ограниченной ответственностью
...
5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 iconОбщество с ограниченной с ограниченной ответственностью
...
5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 iconЗакон от 8 февраля 1998 г. N 14-фз "Об обществах с ограниченной ответственностью"
Настоящий Федеральный закон определяет в соответствии с Гражданским кодексом Российской Федерации правовое положение общества с ограниченной...
5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 iconМетодические указания по теме семинара №7 «Медико-санитарное обеспечение...
«Медико-санитарное обеспечение при ликвидации послед­ствий чрезвычайных ситуаций природного характера стихийных бед­ствий»
5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 iconРоссийская федерация федеральный закон об обществах с ограниченной ответственностью
Настоящий Федеральный закон определяет в соответствии с Гражданским кодексом Российской Федерации правовое положение общества с ограниченной...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница