5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02

1. Приведите примеры: а) послед-и, сходящейся к числу -9; б) ограниченной послед-и, не имеющей предела. Число а называется пределом числовой послед-и {Xn}, если для любого положительного числа ε существует номер N из множества Ñ такой, что для любого n ≥ N выполняется неравенство: | Xn – a | < ε √ ε > 0, сущ. N є Ñ, √ n ≥ N => | Xn – a | < ε А) Xn = (-9n+1)/n, lim (n→∞) (-9n+1)/n = -9 б) Xn = (-1)ⁿ - ограничена (-1), не имеет предела 2. Докажите, исходя из определения предела послед-и, то lim (n→∞) 6n/n+7 = 6. | Xn – a | < ε |6n/n+7 - 6| < ε, |-42/n+7| < ε, 42/n+7 < ε, n+7/42 >1/ε, n> (42-7ε)/ε, ^ N = [42/ε - 7] +1 3(12). Докажите, что сходящаяся послед-ь имеет только один предел От противного Предп, что некоторая послед-ь {Xn} имеет 2 разл предела а и b, a ≠ b. Выберем столь малые окрестности т. a и b, чтобы они не имели общ точек. Т.к. lim Xn = a, все Xn, начиная с нек номера n1, содержатся в выбран окрестности т. а; точно так же из lim Xn = b, следует, что все Xn, начиная с нек номера n2, содержатся в выбранной окрестности т. b. Положим, n0 = max {n1, n2}. Тогда числа Xn с номерами n≥ n0 должны принадлежать как первой, так и второй окрестности, что невозможно, так как окрестности не имеют общих точек. 4(13). Докажите ограниченность сход послед-и док-во: Пусть lim Xn = a. Положим ε = 1 и найдем номер n0, начиная с которого | Xn – a | < 1, т. е. -1>Xn – a<1 для n≥ n0. Отсюда следует а-1>Xn<а+1 для всех n≥ n0. Заменим отрезок [а-1; а+1] таким отрезком [А;В], чтобы в него попали не только числа Xn, n≥ n0, но и все числа х1, х2,…хn0. Тогда будем иметь хn є [А;В] для всех n є N, что означает ограниченность множества {Хn}. 5(3). Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02 Послед-ь называется ограниченной сверху, если существует число m, такое, что любой элемент Xn этой послед-и удовлетворяет неравенству m ≥ Xn. Предел послед., огранич. сверху числом 6, не может быть равным 6,02, но может быть равным 5,98, так как мы можем брать только числа меньше 6 (6≥Xn ). 6(4). Что можно сказать о пределе суммы двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, сумма которых сходится. 1) Алгебраическая сумма двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен сумме пределов послед-ей {Хn} и {Уn}. lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn + Уn) = a + b. 2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход. bn = (-1)^(n+1): 1; -1; 1; -1…- расход. lim (n→∞) (an + bn) = 0 7.(5) Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, произведение которых сходится. 1) Произведение двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен произведению пределов послед-ей {Хn} и {Уn}. lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn * Уn) = a * b. 2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход. bn = -1/2, 1/2, -2/3, 2/3, -3/4, 3/4: (-n/ n + 1)ⁿ lim (n→∞) (an * bn) = 1 – сход. (1/2, 1/2, 2/3, 2/3…). 8(15). Может ли послед-ь {Xn + Yn} сходиться, если послед-ь {Xn} сходится, а послед-ь {Yn} расходится? Ответ обоснуйте. нет, не может: С + ∞ = ∞ Xn = (1/2)ⁿ: 1/2, 1/4… Yn = (-1)ⁿ: -1, 1.. -1 + ½ = -1/2; -1 + 1/8 = -7/8 – сход. к (-1) 1 + ¼ = 1 ¼; 1 + 1/16 = 1 1/16 – сход. к 1 {Xn + Yn} – расход. ^ 9(6). Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью. Послед-ь {αn} называется бм, если lim (n→∞) αn = 0. Для любого ε > 0, сущ. N, такое, что для любого n ≥ N | αn | < ε. а) 1/n, 1/ ^4√n – бм послед-и: ^4√n/ n = n^-3/4 – бм послед-ь б) n/ ^4√n = n^3/4 - не бм послед-ь 10.(14) Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью. док-во: Пусть {Хn} – ограниченная, а {αn} – бм послед-и. Доказать, что {Xn * αn} – бм. Так как {Хn} ограниченна, то существует число А > 0 такое, что любой элемент Хn удовлетворяет неравенству | Хn | ≤ А. Возьмем любое ε > 0. Поскольку {αn} – бм, то для положительного числа ε/А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | αn | < ε/А. Тогда при n > N |Xn * αn | = |Xn| * | αn | < A * ε/A = ε. Это означает, что послед-ь {Xn * αn} – бм. 11(10). Докажите, что предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если последние существуют. Из условия lim u=a, lim v=b следует u=a+α, v= b+β. Рассмотрим u×v=( a+α)(b+β)=ab+bα+aβ +αβ → u×v=ab+µ → lim u×v=a×b ^ 12. (7)Дайте определение бесконечно большой (бб) послед-и. Что означает запись «lim (n→∞) Xn = +∞»? Докажите, исходя из определения, что lim(n→∞) √n + 12 = +∞. 1) Послед-ь {Xn} называется бб, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |Xn| > A. (lim (n→∞) Xn = ∞ ). Для любого A > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: |Xn| > A. 2) Если, начиная с некоторого номера, все Xn > 0, то lim (n→∞) Xn = +∞ (Xn > A). 3) √n + 12 > A => √n + 12 > 0 => lim (n→∞) √n + 12= +∞; N = [A² -12] + 1. 13. (8)Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте. Любая бб послед-ь является неограниченной. Однако неограниченная послед-ь может и не быть бб послед-ью. Например, неограниченная послед-ь 1, 2, 1, 3 .., 1, n, 1, n + 1 … не является бб, поскольку при А > 1 неравенство |Xn| > A не имеет места для всех элементов Xn с нечетными номерами. 16. Докажите, что функция f(x) = sin 1/x не имеет предела в точке x = 0. lim (x→0) sin 1/x по Гейне lim (n→∞) Xn = X0, lim(x→0+0) 1/x = +∞, lim(x→0-0) 1/x = - ∞ lim (x→0+0) sin 1/x – не сущ. sin (x→0-0) 1/x – не сущ. 17. Может ли функция f(x) +g(x) быть непрерывной в точке х0, если функция f(x) непрерывна, а функция g(x) имеет разрыв в этой точке, а функция g(x)имеет разрыв в этой точке. ответ обоснуйте. Нет. Так как есть теорема, в которой говорится. Если f(x) и g(x)- непрерывные функции в точке x0, то непрерывными являются . .f(x)=c-является непрерывной и f(x)=x. 18 Найдите значение а, при котором функция f(x) = x arctg (1/x), x≠0, является непрерывной в точке x=0. lim (x→ x0) f(x) = f(x0) является непрерывной в точке x = 0 следовательно следовательно а=0 27(19).определение производной в точке Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x0(∆x=x-x0). Производной функции в точке x0 называется lim , когда (при условии, что lim существует). Обозначение . 30. Общие правила дифференцирования. ( f (g (x)) )’ = f ‘(g(x)) · g ‘ (x) Найдите, исходя из определения, производную функции f(x) в точке x0: 26. f(x) = x3, x0 - произвольное число. Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= = f(x) = x3 f ′(xо)= = ===3 ^ 27(20). f(x)=sinx, xо-произвольное число Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= = f ′(xо)= = = =cosx0 28(19 Ч2). f(x)=, xо =9 Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= = f ’(x)= = ==1/6 29.(21) f(x)=, xо =1 Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= = f ’(x)= = ===-2 30.(22) f(x)=xx, x0=0 Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= = 31.(23) Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= = 39.(27) f(x) = 3x , x0 = 5. Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется предел E(x)= 40(28)Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей. Э ластичность произведения ф-ий и в точке равна сумме эластичностей ф-ций в этой же точке: . Эластичность равна Ey=x(lny) Д ок-во: Пусть тогда . 42.(29) Сформулируйте теорему Ролля. Можно утвержд, что производная функции f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) обращается в нуль в трех точках интервала (2,5)? Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой . Можно. f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0, f(5)=0 => существует С1из (2;3), такое, что f'(C1)=0, и тд 2, 3, 5, 4 43.(34) Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′(x) = 0 на интервале (a,b), то функция f (x) постоянна на этом интервале. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует точка с О (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)   => 45.(30) Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из теоремы Коши утверждение теоремы Лагранжа. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b]; дифференцируемы в интервале (a, b); "x О (a, b) g'(x) ≠ 0 . Тогда существует точка c О (a, b) такая, что  . Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа. 34. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций. Если 2 функции U и V дифференцированы в некоторой точке, то тогда ф-я, равная Y=U+V, также будет иметь производную, равную Y’=U’V+UV’ Док-во: Y= = Т.к. U(x0+x)= U + U = U(X0)+U, аналогично для V Раскрываем скобки и группируем 32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке? Если функция U=f(x) дифференцирована в некоторый точке x=x0, то она непрерывна в этой точке. Это условии необходимое, но недостаточное. Доказательство: пусть функция u= f(x) дифференцирована, тогда существует =а, тогда =а+(x), где (x) – б.м. Тогда y=xа + x(x), y = ( f ’(x0) x +x) = 0 в силу непрерывности. №46(36) Дайте определение многочлена Тейлора ф-ции f(x) в точке x0. Чему равны его производные в этой точке? Укажите какой-либо многочлен P(x), удовлетворяющий условиям: . Пусть ф-ция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен называется n-многочленом Тейлора ф-ции f(x) в точке x0. Найдем производные: аналогично таким образом, для любого n, от 1 до к, выполняется равенство: 36. . Дифференциалом функции в точке х0 называется главная линейная часть приращения функции в этой точке При x0, dy=y’x или = , 25= x0, 0,12=x => f(x)= => f’(x)=1/10 5+0.1*0.12=5.012 37. ln1,09. Дифференциалом функции в точке х0 называется главная линейная часть приращения функции в этой точке При x0, dy=y’x или ln(1+0,09)= ln1+1*0.09=0.09

Похожие:

	N = [42/ε 7] Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может... Приведите примеры: а послед-и, сходящейся к числу -9; б ограниченной послед-и, не имеющей предела		1. Дайте определение предела послед-и. Приведите примеры: а послед-и,... ...
	Прямой узел можно вязать двумя способами Ходовые концы должны быть длиной 15—20 см, чтобы можно было завязать контрольные узлы (рис. 54, д). Если один ходовой конец будет...		Устав Общество с ограниченной ответственностью «Рога и Копыта», именуемое в дальнейшем «Общество», создано в соответствие с фз «Об обществах...
	2. Предмет и цели деятельности Общество с ограниченной ответственностью "xxx" создано для осуществления финансово-хозяйственной деятельности в соответствии с Главой...		Общество с ограниченной с ограниченной ответственностью ...
	Общество с ограниченной с ограниченной ответственностью ...		Закон от 8 февраля 1998 г. N 14-фз "Об обществах с ограниченной ответственностью" Настоящий Федеральный закон определяет в соответствии с Гражданским кодексом Российской Федерации правовое положение общества с ограниченной...
	Методические указания по теме семинара №7 «Медико-санитарное обеспечение... «Медико-санитарное обеспечение при ликвидации послед­ствий чрезвычайных ситуаций природного характера стихийных бед­ствий»		Российская федерация федеральный закон об обществах с ограниченной ответственностью Настоящий Федеральный закон определяет в соответствии с Гражданским кодексом Российской Федерации правовое положение общества с ограниченной...