1. Определение числовой функции. Способы задания функций


Скачать 124.85 Kb.
Название1. Определение числовой функции. Способы задания функций
Дата публикации23.06.2013
Размер124.85 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
1.Определение числовой функции. Способы задания функций.

Пусть имеются два множества Х и Y. Пусть указано правило, по которому каждому элементу х принадлеж. Х сопоставляется некоторый(единств.) элемент у принадлеж. У. Тогда говорят, что задана функция из Х в У. Числовая функция характерез. тем, что оба множества Х и У состоят из чисел х- аргумент, у- функция. 3 способа задания: 1)Табличный (область определения из конечного множества чисел) 2) Аналитический –задание с помощью формулы. 3) Графический.4) словесный.

2. Понятие обратной функции.

Если существует отображение У в Х, такое, что каждому соотв. единственное значение х, то существует обратная функция х=(y)

^ 3. Понятие сложной функции. Пусть на некотором множестве  D значений аргумента   x  задана функция              , имеющая множество значений  G , а на множестве  G  в свою очередь задана функция  , имеющая множество значений   E . Тогда каждому значению   x  из  D   соответствует через посредство  y  определенное значение  , то есть переменная  z  сама является функцией  x  :  . Полученная функция от функции,  или  сложная функция, есть результат суперпозиции функций      и .

4. Числовые последовательности. Называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Последовательность обозначается: , n=1, 2,… или .

5. Определение предела последовательности.

Пределом числовой последовательности Un называется число А, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного положительного числа Е, найдется такой номер члена последовательности N, начиная с которого абсолютная величина разности между числом А и членами последовательности становится и остается меньше Е.

6. Свойства пределов числовых последовательностей.

1)Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Пусть имеется limUn=a и Un=b ,где а не равн b.

По определению предела начиная с некоторого номера, все члены последовательности должны находиться в бесконечно малой окрестности точки А, и в бесконечно малой окр точки B а это невозможно(как бы близко они не находились, найдется Е-окрестность) 2) Сходящаяся последовательность ограничена. Мн-во чисел назыв. ограниченным, если сущ. такой отрезок [a,b] числовой оси, который содержит все числа из Х.Док-во. Пусть lim xn=a

Положим Е=1 и найдем номер n0 начиная с которого / xn - a/ <1, т.е. -1< xna<1 для n больше либо равно n0.

Отсюда следует a-1n0. Заменим отрезок [a-1 , a+1] таким отрезком [A , B], чтобы в него попали не только числа Xn , n>n0, но и все числа x1, x2 …Xn. Тогда будет иметь Xn принадлежащ [A , B] для всех n принадлежащ N, что означает ограниченность множества {Xn}.

3)Если члены сход последовательности {Xn} удовлетворяют неравенству Xn> либо равно b, то и lim Xn > b

7. Правила вычисления пределов сходящихся последовательностей.

1) lim(Xn + Yn)= a+b 2) lim (Xn*Yn)=a*b 3)lim 1/Yn = 1/b, если у и б не равны 0 4) lim Xn/Yn= a/b

8. Определение ограниченной последовательности.

Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу. Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности. Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

9. Определение бесконечно малой последовательности.

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

17.опред бесконечно малой фун.

Функция называется бесконечно малой при , если

10. Свойства бесконечно малых последовательностей.

1) Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. 2)Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. 3) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. 4)Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность. 5) Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 6) Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

11. определение беск. большой последовательности.

Послед-ь {Xn} называется бб, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |Xn| > ε. (lim (n→∞) Xn = ∞ ).

Для любого ε > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: |Xn| > ε.

12. свойства б.б.последовательностей.

1)б.б.последовательность является неограниченной.

2)Сумма б.б. и ограниченной послед-тей есть бесконечно большая послед-ть.

3)Сумма двух б.б. послед-тей одного знака есть б.б. того знака.

4)произведение б.б. послед-ти и ограниченной от нуля есть б.б. последовательность.
13.Определение монотонных последовательностей.

Последовательнсть {Хn} назыв.: возрастающей, если ХnX(n+1) для всех n; неубывающей, Хn≥X(n+1) для всех n
14. определение предела функции в точке.

Число а называется пределом функции f (x) в точке X0 (или пределом при X→ X0) если для любой сходящейся к точке X0 послед-и значений аргумента, отличных от X0, соответствующая послед-ь значений функции сходится к числу а, т. е.

lim Xn = X0 (Xn ≠ X0) => lim f(Xn) = a; lim (X→ X0) f(x) = a.

15.Свойства пределов функций.

1) Если существует, то он единственный.

2)Если ф-ция f(x) имеет предел в точке X0, то в некоторой окрестности этой точки ф-ция ограничена,т.е. сущ-ет такая (проколотая) окрестность точки X0 и такое число А>0,что│f(x)│≤А для всех Х из этой окрестности

3) Если для всех точек Х некоторой окрестности точки Х0 выполняется неравенство f(x)≥b, то и limf(x)≥b, если только указанный предел существует.

4)Если в некоторой окрестности точки Х0 имеем f(x)≥g(x), то и limf(x)≥limg(x), если только указанные пределы сущ-ют.

5)Пусть в некоторой окрестности точки Х0 выполняются неравенства f(x)≥g(x)≥h(x),причём пределы f(x) и h(x) при Х→Х0 сущ-ют и равны между собой .Тогда предел g(x) при Х→Х0 также сущ-ет и равен тем пределам.

16Правила вычисления пределов функций.

Пусть функции , имеют предел при и

,

а)

б)

в) (при условии, что ).

г)(при условии, что ).

д)

18.определение бесконечно большой функции.

Функцию называют бесконечно большой при Х , стремящемся к Х0, если для любой последовательности

() значений аргумента, стремящейся к Х0, соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой. Записывают: .

19. Первый замечательный предел.

lim (sinx/x)=1 при x→0
20. Второй замечательный предел

Lim(1+ 1/n)n = e

x→∞

21. Дайте определения односторонних пределов функции в точке

Число А называется правым пределом функции f(x) при х → а, если для любого ξ > 0 существует такое δ, что для всех х, удовлетворяющих неравенству а < х < а + δ, выполняется неравенство | f(x) - А |< ξ.

Число А называется левым пределом функции f(x) при х → а, если для любого ξ > 0 существует такое δ, что для всех х, удовлетворяющих неравенству а - δ < х < а, выполняется неравенство | f(x) - А |< ξ.

22. Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки х0 , называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке х0 существует и равен значению в этой точке: lim х → х0 f(x) = f(x0).

^ Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х = х0 , если эта функция определена в какой-либо окрестности точки х0 и в самой точке х0 , и если бесконечно малому изменению аргумента соответствует бесконечно малое изменение функции.

23.Теорема о непрерывности сложной ф-ции.

Сложная функция, составленная из конечного числа суперпозиций непрерывных функций, тоже непрерывная функция.

24. Теорема о непрерывности обратной ф-ции. Функция обратная для монотонной и непрерывной функции также непрерывна.

25. Теорема о непрерывности элементарных ф-ций. Любая элементарная функция непрерывна в своей области определения. (Промежутки непрерывности элементарных функций точно совпадают с их областью определения).

26. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если или не существует.

Разрыв ^ 1 рода (скачок) если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Разрыв 2 рода (бесконечный), если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Разрыв ^ 3 рода (устранимый), если функция не существует в точке х0 или если значение функции в точке х0 не совпадает со значением односторонних пределов.

27.определение производной в точке Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x0(∆x=x-x0). Производной функции в точке x0 называется lim , когда (при условии, что lim существует). Обозначение .

28. Если функция y = f(x) имеет производную в точке х0 , то мы говорим, что функция дифференцируема в этой точке.

29. Дифференциалом функции в точке х0 называется линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.

df(х0)=f′(х0)∆х;∆х=dх;df(х0)=f′ (х0) dх
30. Общие правила дифференцирования.










( f (g (x)) )’ = f ‘(g(x)) · g ‘ (x)
(u v )’ = v · u v-1 · u’ + uv · v’ · ln u
^ 31.Теорема о производной обратной функции.

Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g(y0)=1/f’(x0) или xy=1/yx.

^ 32.Теорема о производной сложной функции.

Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула:d f(g(t))/dt|t=to=f(x0)*g(t0) или yt=yx*xt.
^ 33. Геометрический смысл производной и дифференциала.

Приращением функции y=f(x) в точке x0 называется разность

Δу=f(x)-f(x0)= f(x+Δx)-f(x0)

Производной от функции y=f(x) в точке х0 наз. Предел отношения Δу/Δх, когда Δх→0 (при усл., что этот предел существует)

Написать обозначение производной.

^ Геометрический смысл производной.

Пусть Г- график функции y=f(x). Рассмотрим на Г т. А(x0,f(x0)) и т. В (x0+Δx,f(x0+Δx))

Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что y=f(x)-непрерывная функция, тогда если Δх→0, то f(x0+Δx)→f(x0), т.е. В→А при Δх→0.

Пусть γ – угол наклона секущей относительно оси ОХ. Если существует предел lim γ=γ0 при Δх→0, то прямая, проходящая через А и образующая с осью ОХ угол γ0, называется касательной к Г в точке А.

Пусть С(f(x0+Δх), f(x0)) – точка, дополняющая отрезок АВ до прямоуг. треугольника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgγ =Δу/Δх. Переходя к пределу, получим: tgγ0=f′(x0)

Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x0)).

^ 34. Уравнение касательной.

Найдем ур-е касательной к графику Г ф-и y=f(x) в точке А(х0, f(x0)): т.к. т. А принадлежит Г и ур-ю касательной, то f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0)-kx0, значит, касательная задается след. Ур-м:

y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(х-x0)

Т.к. k= f′(x0), то

y=f(x0)+ f′(x0)(х-х0).
^ 34. Определение эластичности функции.

функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел

Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

Δx  0

Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)

^ 35. Теорема Ролля.

Если функция, непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
^ 36. Теорема Лагранжа.

Пусть функция f(x)

  1. непрерывна на отрезке [a, b];

  2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что

 

f(b) − f(a) = f '(c) · (ba) .

(1)

 Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

^ 37. Теорема Коши.

Пусть даны две функции f(x) и g(x)такие, что:

  1. f(x) и g(x)определены и непрерывны на отрезке ;

  2. производные и конечны на интервале ;

  3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале

  4. ;

тогда

, где

(Если убрать условие 4, то необоходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале (a,b).)




^ 38. Правило Лопиталя.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел

(конечный или бесконечный),




то существует и предел
при этом выполняется равенство:

^ 39. Производные и дифференциалы высших порядков.

Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

d3y=d(d2y)…

dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка

^ 40. Формула Тейлора. Формула Маклорена.

Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:






Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение



представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f(n+1)(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x a более высокого порядка, чем (x-a)n. Таким образом, остаточный член можно записать в виде

Rn+1(x) = o((x-a)n) при x a.

Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:






Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

Rn+1 = o(xn) при x 0.

Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

41. признак монотонности дифференцируемой функции:

Промежутки монотонности ф-ции совпадают с промежутками постоянного знака её производной
^ 42. определение локального экстремума функции одной переменной:

Точка x0 называется точкой локального max [min] ф-ции f(x), если для всех x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство

Локальный max и min объединяются общим названием локальны экстремум.
^ 43. необходимое условие локального экстремума функции одной переменной:

Для того, чтобы дифференцируемая ф-ция f(x) имела в точке x0 локальный экстремум необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство . Если при переходе через точку х0 меняет знак с + на – (с – на +), то х0 – это локальный максимум (минимум).

.

44. точка перегиба функции:

пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 называется точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет направление выпуклости .

45. необходимое условие точки перегиба:

пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 называется точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет направление выпуклости ( слева и справа от х0 знаки второй производной различны)

46. определение асимптот графика функций:

Асимптота графика функций y=f(x) - это прямая, расстояние до которой от точки (x,y) графика функций y=f(x) стремится к нулю, если хотя бы одна из координат (x,y) стремится к бесконечности. Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Похожие:

1. Определение числовой функции. Способы задания функций icon1. Определение числовой функции. Способы задания функций
Тогда говорят, что задана функция из Х в У. Числовая функция характерез тем, что оба множества Х и у состоят из чисел Х- аргумент,...
1. Определение числовой функции. Способы задания функций iconВопросы для самопроверки по дисциплине
Понятие функции. Способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры
1. Определение числовой функции. Способы задания функций iconЛабораторная работа №1. Перегрузка функций. Шаблоны функций
Цель работы – изучить определение и варианты использования перегрузки функций и шаблонов функций в языке С++
1. Определение числовой функции. Способы задания функций iconТема Тип урока и форма проведения
Знать опр-ие функции, область определения, область значения. Четные и нечетные функции, графики функций. Уметь находить E(f); D(f)...
1. Определение числовой функции. Способы задания функций iconПонятие функции. Способы задания
Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности
1. Определение числовой функции. Способы задания функций iconИсследование функции >12. Значения обратных тригонометрических функций
Определение: Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен
1. Определение числовой функции. Способы задания функций iconАсимптоты графика функции. Определение
Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции, если или
1. Определение числовой функции. Способы задания функций iconЛабораторная работа № Управление персоналом как система Методические указания
Для выполнения задания студентам предлагается перечень функций службы управления персоналом, составленный в свободной последовательности....
1. Определение числовой функции. Способы задания функций iconФормулы тройных углов Обратные тригонометрические функции Некоторые...
Алгебраические функции — это функции, заданные аналитическим выражением, в записи которого используются алгебраические операции над...
1. Определение числовой функции. Способы задания функций iconВопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический...
Вопрос №5. 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Вычисление производных основных элементарных функций....
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница