Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции


Скачать 103.41 Kb.
НазваниеЛекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции
Дата публикации28.06.2013
Размер103.41 Kb.
ТипЛекция
userdocs.ru > Математика > Лекция
Лекция № 13

Кривые второго порядка.

Тема лекции: Гипербола. Парабола.

3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний до двух точек, называемых фокусами, величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.






По определению, . Тогда





Возведём это равенство в квадрат:



Раскроем скобки и изолируем корень:



Возведём в квадрат полученное равенство и раскроем скобки:



. Но, по определению гиперболы, и получается:

. Разделив это равенство на правую часть, получаем каноническое уравнение гиперболы:

. (7)

Ввиду того, что переменные входят в уравнение во второй степени, эта линия симметрична относительно осей координат и относительно начала координат. Следовательно, достаточно построить график в первой четверти () и симметрично отобразить его в другие координатные плоскости. Из данного уравнения видим, что оно имеет смысл только в случае, если . возрастает по мере увеличения и причём график линии по мере увеличения приближается к прямой , не пересекая эту прямую. Эта прямая является асимптотой данной линии.

Ввиду симметрии, гипербола имеет две асимптоты: . Построим гиперболу:

Построим гиперболу:










Асимптоты гиперболы - это прямые, проходящие через диагонали основного прямоугольника со сторонами, равными и , соответственно.

В уравнении (7), называется действительной полуосью гиперболы, - мнимой полуосью. В результате преобразований уравнения второго порядка мы можем получить также уравнение следующего вида:

(8)

Оно задаёт уравнение сопряжённой гиперболы, которая выглядит следующим образом:














Для сопряжённой гиперболы - мнимая полуось, - действительная полуось. Сопряжённая гипербола имеет те же асимптоты . Как для случая гиперболы, так и для случая сопряжённой гиперболы, полуфокусное расстояние равно :

. Для случая гиперболы, фокусы имеют координаты: , для случая сопряжённой гиперболы:

, т.е. всегда находятся на действительной оси. Эксцентриситет гиперболы равен , а сопряжённой гиперболы - , но в обоих случаях .

Эксцентриситет гиперболы (сопряжённой гиперболы) определяет форму основного прямоугольника.
Рассмотрим пример. Привести уравнение к каноническому виду и построить линию:



Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:



Разделим полученное равенство на 36:



Получили уравнение гиперболы с центром симметрии, смещённым в точку . Для данной гиперболы , . Эксцентриситет гиперболы равен . Её асимптоты имеют уравнения

Построим эту линию










-1



-2

-2


Для эллипса и гиперболы, заданных соответствующими каноническими уравнениями:



можно задать уравнения прямых, которые называются директрисами, с помощью уравнений (для случая эллипса с большей полуосью и для случая сопряжённой гиперболы уравнения директрис имеют вид: ).

В случае эллипса:








Для гиперболы:










Основное свойство директрис : если - расстояние до ближайшего фокуса, а - расстояние до соответствующей директрисы , то .

Таким образом, с помощью основного свойства директрис, эллипс и гиперболу можно определить, как множества точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы - величина постоянная, равная эксцентриситету , причём для эллипса , а для гиперболы . В случае получаем ещё одну линию - параболу.
4. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Введём на плоскости систему координат: ось проходит через фокус перпендикулярно директрисе. Ось перпендикулярна оси и проходит на одинаковом расстоянии между фокусом и директрисой. Пусть расстояние от фокуса до директрисы равно






По определению параболы, расстояние от фокуса до точки равно длине отрезка . Тогда . Возведём в квадрат это равенство: . Таким образом, получаем каноническое уравнение параболы:

(9)

Построим эту линию. Она симметрична относительно оси (так как входит в уравнение в чётной степени).











Точка является вершиной параболы, ось - ось её симметрии. Кроме параболы , можем рассмотреть ещё параболы и , которые выглядят, соответственно, следующим образом:






Рассмотрим пример. Привести к каноническому виду уравнение следующей линии и построить её:



Преобразуем это уравнение:



Вершина параболы находится в точке . . Построим эту линию.




.







Оптическое свойство параболы: Если источник света расположен в фокусе параболы, то отражённый луч распространяется по прямой





^ Классификация кривых второго порядка.




Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.

Пусть дано общее уравнение линии второго порядка:

. (1)

Задача состоит в том, чтобы перейти, от так сказать, «случайной» системы координат к «естественной» для данной кривой.

Уточним предъявляемые требования:

  1. нужно добиться, чтобы в группе старших членов исчез член с произведением текущих координат;

  2. чтобы число членов первой степени стало меньшим (если возможно, - совсем их уничтожить);

  3. кроме того, если возможно, уничтожить свободный член.

Уравнение, получаемое при соблюдении этих требований, называется каноническим.

Покажем на примерах, как следует выполнять необходимые действия, чтобы привести данное уравнение к каноническому виду.
Рассмотрим теперь пример полного преобразования уравнения линии 2 – го порядка с помощью параллельного переноса и поворота системы координат.

● Привести к каноническому виду уравнение линии. Выполнить построение линии:



Прежде всего постараемся упростить выражение при помощи параллельного переноса координатных осей. Перенесём начало координат в точку , которую пока будем считать произвольной. Получим соответствующее преобразование координат по формулам (2): . Получим:



С помощью параллельного переноса мы должны избавиться от линейных слагаемых в уравнении, т.е. приравниваем нулю:



Эти равенства должны выполняться для всех , т.е. получаем систему:

Тогда: или

Таким образом, перенос системы координат необходимо произвести в точку . При этом получим уравнение:



Чтобы избавиться от смешанного произведения , выполним поворот системы координат по формулам (4):



Нам необходимо убрать смешанное произведение, поэтому группируем соответствующие коэффициенты и приравниваем их к нулю:

Учитывая тригонометрические формулы, получаем:

.

Перепишем уравнение линии, с учётом того, что смешанного произведения в уравнении не осталось:

или, и тогда: и, окончательно, Получили каноническое уравнение эллипса с полуосями . Построим данную линию:










1
1

С помощью поворота системы координат избавляются от произведения в уравнении (1).

После преобразования уравнения (1) с помощью переноса и поворота системы координат, можем получить следующие уравнения: , или

Рассмотрим сначала уравнение :

1. Если , то имеем уравнение эллиптического типа, причём, в случае , уравнение определяет эллипс (или окружность при ; если же , то уравнение определяет мнимый эллипс ( или мнимую окружность); если , то данное определение задаёт точку.

2. Если , то имеем уравнение гиперболического типа, при этом, если , уравнение определяет гиперболу, если - сопряжённую гиперболу, если , то уравнение определяет две пересекающиеся прямые.

Уравнения вида параболического типа. Определяют либо параболы, направленные или по оси , или по оси , либо две параллелельные прямые (если , то прямые параллельны оси ; если - то прямые параллельны оси ).
Рассмотрим ещё примеры:

Пример 1. Построить следующую линию:

Из уравнения видим, что должно быть выполнено: . Возведём равенство в квадрат: . Тогда Получено уравнение окружности с центром в точке радиуса 4.









С учётом условия , мы получаем нижнюю часть окружности.


Пример 2. Построить линию:

. Ограничение: Возведём последнее равенство в квадрат . Это уравнение параболы с вершиной в точке . . Построим линию:






2
-1

Ввиду условия , выбираем правую ветку параболы.
Все основные кривые можно получить, как сечения конуса.

Похожие:

Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции iconВопросы к экзамену по «Высшей математике» для студентов специальности
Определители второго и третьего порядка, вычисление определителей второго и третьего порядка
Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции iconЛабораторная работа №5 исследование переходных процессов в rlc-цепях
С, то такая цепь описывается дифференцированным уравнением второго порядка. Простейшим примером такой цепи является последовательный...
Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции iconТак как, где. Таким образом, получаем следующую формулу для нахождения...
Тогда на множестве определена также функция (), которая тоже может быть дифференцируемой на множестве, т е., и на множестве можно...
Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции icon1. Изобразите графически зависимость концентрации участников реакции от времени: 2
Примите, что кон­центрация Cl мала и постоянна б При концентрации реакция становится реакцией второго порядка по. Измените приведен­ный...
Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции iconПрограмма лекции Адрес Время проведения лекции Участники лекции 12...

Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции iconОпределитель второго порядка равен
Если какуюлибо строку определителя -го порядка умножить на число, то значение определителя
Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции iconОпределитель второго порядка равен
Если какуюлибо строку определителя -го порядка умножить на число, то значение определителя
Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции iconЛекция 2 часа Тема лекции: психология как наука. Исторические этапы...
Начала христианской психологии: Учеб пособие для вузов / Под ред. Б. С. Братуся. — М.: Наука, 1995
Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции iconЛабораторная работа № Тема: Определители матриц над телом
Задание Для матрицы второго порядка над телом кватернионов решить проблему обратимости по определению
Лекция №13 Кривые второго порядка. Тема лекции iconЛекция №2 тема лекции: лекарственные средства, влияющие на сердечно-сосудистую систему
Эти препараты прежде всего используются при сердечной недостаточности, когда миокард не справляется с нагрузкой
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница