Экстремум функции многих переменных


Скачать 19.36 Kb.
НазваниеЭкстремум функции многих переменных
Дата публикации30.06.2013
Размер19.36 Kb.
ТипДокументы
userdocs.ru > Математика > Документы
Экстремум функции многих переменных
Вспомним сначала некоторые результаты, известные из курса математического анализа.

Теорема. Если x* - точка локального экстремума функции одной переменной y = f(x) и функция f(x) дифференцируема в точке x*, то

Точка x*, удовлетворяющая условию называется стационарной точкой.

Теорема. Если функция f(x) дважды дифференцируема в стационарной точке x*, и f′′(x*) > 0 (f′′(x*) < 0), то x* - точка локального минимума (максимума) функции f(x).

Теорема. Если функция f(x) 2m раз дифференцируема в точке x*, и



то x* - точка локального минимума (максимума) функции f(x).

Определение. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции n переменных , если существует число δ > 0 такое, что для всех x таких, что , выполняется условие В случае строгих неравенств точка x* называется точкой строгого локального минимума (максимума).

Знак обозначает евклидову норму (длину) вектора а.

Напомним, что понятия локального минимума и максимума объединяются одним термином локальный экстремум.

Теорема. Если - точка локального экстремума функции n переменных , и функция f(x) дифференцируема и точке х*, то



Заметим, что вместо приведенной в теореме системы равенств можно употребить условие или условие df(x*) = 0. Точка х*, удовлетворяющая этим условия, называется стационарной точкой.

Теорема. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в стационарной точке х*, тогда

  1. если матрица вторых производных (матрица Гессе)



положительно определенная, то х* - точка локального минимума функции f(x);

  1. если матрица вторых производных отрицательно определенная, то х* - точка локального максимума функции f(x);

  2. если матрица вторых производных не определенная, то в точке х* экстремума нет.

Замечание. Поскольку второй дифференциал функции f(x) имеет вид

где Δх (или dx) – произвольное приращение аргумента, то вместо условия положительной (отрицательной) определенности матрицы Гессе можно использовать условие положительности (отрицательности) второго дифференциала при любом ненулевом приращении аргумента.

Похожие:

Экстремум функции многих переменных iconЭкстремум функции при условии неотрицательности переменных
Рассмотрим сначала случай функции одной переменной, то есть Х – скалярная переменная. Выделим две возможные ситуации
Экстремум функции многих переменных iconУсловный экстремум функции
Где k + m = n. Требуется найти экстремум функции f(X) при условии, что переменные подчинены m ≤ n условиям (уравнениям связи)
Экстремум функции многих переменных iconТема 10. Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких...
Частные приращения и частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных
Экстремум функции многих переменных iconВопросы по математическому анализу исиТ бакалавры 2011г
Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных
Экстремум функции многих переменных icon16. Функции двух переменных. Понятие о множестве (линии) уровня функции...
...
Экстремум функции многих переменных iconОбщая задача нелинейного программирования. Условия Куна-Таккера
Рассмотрим следующую задачу поиска экстремума функции многих переменных при наличии ограничений
Экстремум функции многих переменных iconИсследование уравнения регрессии: неадекватность модели и «чистая»
Функции n-переменных; разложение в ряд Тейлора. Виды экстремумов: локальный и глобальный экстремумы, критические и седловые точки....
Экстремум функции многих переменных iconЭкзаменационный билет n 1
Свойства функции нескольких переменных, непрерывной в ограниченной замкнутой области
Экстремум функции многих переменных iconКурсовая стоимость и доходность облигаций. Дюрация Макколея
Необходимые и достаточные условия экстремума дважды непрерывно- дифференцируемой функции двух переменных
Экстремум функции многих переменных iconКурсовая стоимость и доходность облигаций. Дюрация Макколея
Необходимые и достаточные условия экстремума дважды непрерывно- дифференцируемой функции двух переменных
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница