Практикум Минск 2011 Тематический план


НазваниеПрактикум Минск 2011 Тематический план
страница1/14
Дата публикации18.07.2013
Размер1.09 Mb.
ТипТематический план
userdocs.ru > Математика > Тематический план
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14





Марченко А.И., Ратушева Ю.Л., Сороко Н.Ф.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Раздел 3. Теория вероятностей и математическая статистика


Практикум
Минск 2011

  • Тематический план





  1. Определение вероятности.

Случайные события и их вероятности.

  1. Действия над случайными событиями.

Основные теоремы и формулы теории вероятностей.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

  1. Случайные величины.

Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.

4. Некоторые распределения случайных величин.

Формула Бернулли. Распределение Пуассона.

Равномерное и показательное распределения. Закон Гаусса.

5. Системы случайных величин.

Плотность вероятности двумерной СВ и ее числовые характеристики.

Коэффициент корреляции. Регрессия.

6. Предельные теоремы теории вероятностей.

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

7. Элементы математической статистики.

Статистический материал и его обработка.

8. Выборочный метод.

Статистическое распределение выборки.

Выборочные ряды и их характеристики.

9. Эмпирическая функция распределения.

Полигон и гистограмма.

10. Статистическая оценка параметров распределения.

Свойства статистических оценок.

Точечные и интервальные оценки.

  1. Статистическая гипотеза. Статистические критерии.

Статистическая проверка статистических гипотез.


  • ^

    Рекомендуемая литература



  1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. Экспресс-Курс. – М.: 2007.

  2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов. – М.: 2008.

  3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – М.; 2009.

  4. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. – Мн.: ТетраСистемс, 2009.

  5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2008.

6. Булдык Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач и упражнений. – ИПД, 2007.

7. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Вышэйшая школа, 2009.
При необходимости преподаватели кафедры ждут Вас для консультации в Дни заочника, проводимые в одну из суббот каждого месяца согласно графику.

Контактные телефоны:

кафедра высшей математики и информатики – 247-06-22

деканат факультета экономики и бизнеса – 385-96-54

  • ^

    Базовые определения и примеры

  • ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

  • 1. Случайные события


Опытом или испытанием называют осуществление на практике какого-либо набора условий, при которых может наблюдаться изучаемое явление.

Существует множество задач, для решения которых нужно учитывать случайные факторы, вносящие в исход опыта элемент неопределенности.

В вероятностном эксперименте (опыте), результат невозможно предсказать заранее, так как он является случайным в силу сложного сочетания естественных причин.

Примеры: бросание игрального кубика или монеты, карточные игры, лотерея и др.

Любое действие в экономике по своей сути является вероятностным экспериментом. Например, строительство автомобильного завода в контексте получения прибыли является вероятностным экспериментом.

Событие – это любой исход (результат) или совокупность исходов какого-либо вероятностного эксперимента. Например, получение прибыли можно рассматривать как результат строительства завода.

Во многих задачах рассматривается схема равновозможных событий. Например, при бросании игрального кубика имеется одна и та же возможность появления любой из цифр от 1 до 6, при бросании монеты выпадение «орла» и «решки» также считается равновозможным.

Все события делят на три основные группы:

  1. невозможные события - те, которые не происходят никогда при заданных условиях (на игральном кубике выпала цифра 8);

  2. возможные (вероятные, достоверные) события - те, которые обязательно произойдут при заданных условиях (на игральном кубике выпала цифра от 1 до 6);

  3. случайные события - те, которые при заданных условиях могут произойти, а могут и не произойти (на игральном кубике выпала цифра 4).

Теория вероятностей изучает случайные события, которые можно повторить неограниченное или достаточно большое число раз в неизменных условиях, а также количественные законы, связанные с этими событиями.
  1. ^

    2. Действия над случайными событиями


Случайные события обозначаются большими латинскими буквами: А, В, С и т.д. Невозможное событие будем обозначать , а множество всех возможных событий – .

Пусть А и В – некоторые события.

1. Событие С будем называть объединением событий А и В, если С происходит тогда, когда происходит или А, или В. Запись: C = или С = А + В.

2. Событие D будем называть пересечением событий А и В, если D происходит тогда, когда происходят А и В одновременно. Запись: D = или D = AB.

  1. Событие будем называть дополнением к событию А (противоположным к А), если оно происходит тогда, когда не происходит А. .

  2. Событие C называется разностью событий А и В, если С происходит тогда, когда происходит А и не происходит В. Запись: С=.

Два события являются противоположными, если одно их них происходит тогда, когда не происходит другое (товар реализован – товар не реализован).

Пример 1. Бросают игральный кубик. Пусть событие А = {выпадет четное число}, событие ^ В = {выпадет число, которое делится на 3}. Найти сумму, произведение, разность событий А и В, противоположные к ним события.

Решение.

А = {2, 4, 6}; B = {3, 6}.

А + В ={2, 3, 4, 6}.

AB = {6}

={2, 4}.

={1, 3, 5}, ={1, 2, 4, 5}.

Иногда случайные события можно записать как объединение некоторых других событий из всего множества возможных событий, например, в примере 1 A =, где A1 = {2, 4}, A2 = {6}.

Случайные события, которые нельзя разложить в объединение некоторых других событий, называются элементарными событиями.

Таким образом, если мы имеем правильный игральный кубик, то элементарными событиями являются {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.
  1. ^

    3. Элементы комбинаторики


Для каждого вероятностного эксперимента можно определить пространство элементарных событий. Если это пространство содержит сравнительно небольшое количество событий, то их можно выписать и пересчитать. Если же элементарных событий достаточно много, то для нахождения вероятности нужно вычислить их количество.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются методы подсчета количества различных элементов (перестановки, размещения, сочетания).

Перестановкой из n элементов называется их произвольный набор.

Количество перестановок из n элементов:

(читается “эн-факториал”)

Если необходимо выбрать m элементов из n, то следует учитывать состав элементов и в некоторых случаях их порядок.

Размещения – это комбинации из n элементов по m, которые отличаются не только составом элементов, но и порядком их следования.

Количество размещений из n элементов по m:

.

Сочетаниями называются такие комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга только составом элементов.

Общее число сочетаний из n элементов по m обозначается и определяется из формулы:

, .

Пример 2. Рассмотрим различные комбинации чисел 1, 2. 3.

Перестановки из чисел 1, 2, 3: {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}.

.

Размещения из чисел 1, 2, 3 по два: {1, 2}, {2, 1}, {1, 3}, {3, 1}, {2, 3}, {3, 2}.

.

Сочетания из чисел 1, 2, 3 по два: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

.
  1. ^

    4. Классическое определение вероятности



Пусть некоторое множество , которое будем называть пространством, представляется в виде объединения своих элементарных событий:

.

и пусть событие ^ А представляется как объединение m таких событий ():

.

Вероятность события – это количественная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.

Вероятностью события А называется отношение

,

где m – число элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, n – число всех элементарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента.

^ Свойства вероятностей:

1) Для любого события А .

2) Если А – достоверное событие, то .

3) Если А – невозможное событие, то .

4) Сумма вероятностей события А и противоположного ему события равна 1:

.

Пример 3. Наугад выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым.

Решение: событие А – выбранное число является простым.

В данном случае - общее число событий п = 10 (все натуральные числа не больше 10), благоприятное число исходов – m = 4 (простые числа 2,3,5,7). Следовательно, искомая вероятность

Р(А) = = 0,4



Пример 4. Монету бросили 3 раза. Найти вероятность того, что «орел» выпадет 2 раза.

Решение. Запишем все возможные случаи:

ω1 = (о, о, о), ω2 = (о, о, р), ω3 = (о, р, о), ω4 = (р, о, о),

ω5 = (о, р, р), ω6 = (р, о, р), ω7 = (р, р, о), ω8 = (р, р, р).

Тогда = {ω1}+{ω2}+…+{ω8}, ,

А = {ω2}+{ω3}+{ω4}, m = 3,

т.е. P(A) = 3/8.

Пример 5. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

Решение. Общее число комбинаций выбора АО равно числу сочетаний из 20 по 6, т.е. . Выбрать двух АО-банкротов из четырех можно способами. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться АО, не являющиеся банкротами. Число комбинаций таких АО будет . Тогда приобретение акций 6 АО, из которых 2 – банкроты, возможно способами. Поэтому искомая вероятность запишется в виде

.

Пример 6. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5.

Решение. Общее число возможных комбинаций для контрольного вскрытия равно числу сочетаний из 10 по 5, т.е. . Число возможных комбинаций из 5 чисел, два из которых – это 2 и 5, равно . Тогда вероятность найдется по формуле

.
  1. ^

    5. Геометрическое определение вероятности


Пусть случайное событие состоит в том, что точка попадает в некоторое множество , и пусть случайное событие А состоит в том, что мы попадаем в некоторое подмножество . При этом будем считать, что возможность попасть в некоторое подмножество из Ω не зависит от этого подмножества, от его размещения в Ω, а зависит только от его площади. Тогда за вероятность P(A) принимается отношение

.
Если на отрезок длины ^ L бросается точка и возникает вопрос, какова вероятность того, что она попадет в промежуток длины h на заданном отрезке, то вероятность этого события вычисляется по формуле

.

Если в пространственную область T объемом V(T) бросается точка и возникает вопрос о вероятности попадания в определенную область объемом , то вероятность будет равна

.

Пример 7. В окружность радиуса R вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в окружность, попадет в квадрат.

Решение. Вероятность попадания точки в квадрат равна отношению площади квадрата к площади окружности:

,

при этом сторона квадрата, вписанного в окружность радиуса R, равна R, а площадь квадрата = 2R2. Тогда =.
Ответ: .

^ 6. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А)+Р(В).

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

(А+ ) = (А) + ( ) – (А).

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

(А ) = (А) ( ).

Иногда бывает необходимо определить вероятность события В при дополнительном условии, что произошло некоторое другое событие А.

^ Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло называется вероятность Р(В/А)(или РА(В)), которая вычисляется по формуле

(или Р(А/В) = ).

При этом, равенство в скобках определяет условную вероятность события А при условии, что событие В произошло.

^ Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А),

Р(АВ) = Р(В) Р(А/В).

Пример 8. В урне 30 шариков: 5 голубых, 10 красных и 15 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик.

Решение. Извлечение цветного шарика означает извлечение шарика голубого или красного цвета. Вероятность извлечения голубого шарика (событие А): Р(А) = , красного шарика (событие В): Р(В) = . Так как события А и В несовместны, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = (или непосредственно: Р(А+В) = ).

Пример 9. В коробке находятся 15 изделий, причем 5 из них высшего сорта. Продавец берет наугад три. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них окажется высшего сорта.

Решение. Событие А – выбрать хотя бы одно изделие высшего сорта - состоит из трех событий: А1 – только одно из трех изделий высшего сорта, А2 – только два из трех изделий высшего сорта, А3 – все три изделия высшего сорта. То есть, А = А1 + А2 + А3. Все события несовместны. По теореме сложения несовместных событий:

Р(А) = Р(А1 + А2 + А3) = Р(А1) + Р(А2) +Р(А3).

Вероятности событий А1, А2 и А3 вычисляются следующим образом:

Р(А1) = Р(А2) = ; Р(А3) =

Тогда вероятность события А будет равна



Р(А) = .

Пример 10. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень будет только одно попадание.

Решение. Событие, состоящее из одного попадания в мишень, представляет собой сумму двух событий А1 + А2 , где А1 - попадание первого стрелка и промах второго, А2 - попадание второго стрелка и промах первого.

Тогда вероятность одного попадания в мишень вычисляется следующим образом:

Р = 0,6(1 – 0,8) + 0,8(1 – 0,6) = 0,6 . 0,2 + 0,8 . 0,4 = 0,44.

Пример 11. В коробке лежат жетоны с номерами от 11 до 60. Наугад выбирается один жетон. Найти вероятность того, что номер жетона является кратным 2 или 3.

Решение. Событие А – номер жетона кратен двум, событие В – кратен трем. Событие АВ – номер кратен и 2, и 3. Тогда событие А + В – номер жетона кратен 2 или 3. Вероятность суммы совместных событий -

(А + ) = (А) + ( ) - (А ), при этом соответствующие вероятности событий, будут:

Р(А) = ; Р(В) = ; Р(АВ) = , а в итоге вероятность суммы:

Р(А + В) = .

Пример 12. В коробке находится 20 изделий, из которых 12 – высшего сорта. Покупатель берет из коробки два изделия одно за другим. Какова вероятность того, что оба изделия высшего сорта.

Решение. Событие А - первое из изделий высшего сорта, событие В - второе изделие высшего сорта. Событие А является независимым, поэтому его вероятность равна

Р(А) = .

Событие В зависит от того, появилось или не появилось событие А, следовательно его вероятность является условной: если первое изделие было высшего сорта, то вероятность того, что второе изделие будет высшего сорта равна

Р(В/А) = .

Тогда вероятность того, что оба изделия высшего сорта, вычисляется следующим образом:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = .

Пример 13. При тех же условиях, что в примере 10, покупатель вынимает одно из изделий, затем возвращает его в коробку, перемешивает изделия и вынимает во второй раз. Нужно найти вероятность того, что оба вынутых изделия высшего сорта (выборка с возвращением).

Решение. Вероятность того, что первое изделие высшего сорта равна

Р(А) = .

Очевидно, событие - «во второй раз вынуть изделие высшего сорта» является независимым от предшествующего события, поэтому –

Р(В) = .

Тогда вероятность совместного появления двух событий равна

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = .

^ 7. Случайные величины и их характеристики



Величина, которая в зависимости от обстоятельств может принимать различные значения, называется случайной.

Таким образом случайная величина характеризуется возможными значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются.

Совместное рассмотрение нескольких случайных величин приводит к системам случайных величин (например, координаты точки попадания снаряда, оценки наудачу взятого абитуриента и т.д.).

Существуют дискретные и непрерывные случайные величины, для которых определены соответственно законы или функции распределения, а также принятые на практике числовые характеристики.
Дискретные и непрерывные случайные величины (СВ)

Закон распределения дискретной случайной величины устанавливает связь между возможными значениями СВ х и соответствующими им вероятностями p, что можно представить в табличном виде:
х1х2…хkp1p2…pk

^ Функцией распределения непрерывной СВ называется функция

F(x), выражающая вероятность того, что значение случайной величины Х, меньше чем х:

F(x) = .

Плотность вероятности непрерывной СВ : при этом .

^ Вероятность попадания значения СВ в заданный интервал (а; b) :

.

Числовые характеристики СВ:

Математическое ожидание МХ = xipi

или МХ= - среднее значение СВ в центре ее распределения.

Дисперсия (рассеяние) DX = М[(x - MX)2] = (xi M(x))2pi

или - мера рассеяния данной СВ по отношению к ее ожиданию

^ Среднее квадратичное отклонение: .
Пример 14. Дан закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ):
х247911р0,10,20,40,20,1Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение для заданного распределения, найти моду ДСВ.

Решение: МХ = ∑xipi = 24 0,2 + 7 0,4 + 9 0,2 +11 0,1 = 6,7

Для нахождения DХ по соответствующей формуле, вместо (хi – МХ)2Рi найдем М(х2) согласно таблице:
х4164981121р0,10,20,40,20,1

М(х2) = 40,1 + 160,2 + 49  0,4 + 81  0,2 + 121  0,1 = 0,4 + 3,2 + 19,6 + 16,2 +12,1 = 51,5

DX = )) – М2(х) = 51,5 – 6,72 = 6,61

 =  =   2,57, Мо = 7(рмах =0,4).
Пример 15. Непрерывная СВ задана функцией распределения
F(x) = 

Найдите: f(x), МХ, DX, р.

Решение:

f(x) = МХ = ;
DX = 
 =  = 0,236; р = F - F = .

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие:

Практикум Минск 2011 Тематический план iconТематический план для студентов заочной формы обучения тематический...
Тематический план для студентов Международно-правового института, Института энергетического права, Института адвокатуры, Института...
Практикум Минск 2011 Тематический план iconПрактикум для студентов неэкономических специальностей Минск 2011
Практикум содержит вопросы для самостоятельного обучения, тесты, упражнения, вопросы для самоконтроля по экономической теории для...
Практикум Минск 2011 Тематический план iconПрактикум для студентов специальности g 31 02 01 «География» Минск
Введение в социально-экономическую географию: практикум для студентов геогр фак./авт сост.: А. Н. Решетникова. – Мн.: Бгу, 2006....
Практикум Минск 2011 Тематический план iconТематический план для очного отделения Тематический план для заочного отделения
Документоведение [Текст]: учеб программа и метод указания по специальности 032001 (350800) Документоведение и документационное обеспечение...
Практикум Минск 2011 Тематический план iconТематический план для студентов очной формы обучения Тематический...
Костикова Е. Г., доцент кафедры финансового права Российской академии правосудия; канд юрид наук
Практикум Минск 2011 Тематический план iconТематический план для студентов очной формы обучения Тематический...
Кузьменко Ю. А., к ю н., доцент кафедры гражданско-правовых дисциплин Ростовского филиала рап
Практикум Минск 2011 Тематический план iconТематический план 4 Литература 5 тематический обзор 6
Предмет политологии. Дефиниция политологии. Политика. Основные типы ее дефиниций. Объект политологии
Практикум Минск 2011 Тематический план iconКалендарно-тематический план прохождения преддипломной практики в...
Анализ выполнения плана по реализации товаров (оптового, розничного товарооборота)
Практикум Минск 2011 Тематический план iconКалендарно-тематический план прохождения технологической практики...
Тема Общие вопросы организации производства и управления. Организация учетного процесса. Учетная политика предприятия
Практикум Минск 2011 Тематический план iconКалендарно-тематический план прохождения технологической практики...
Тема Общие вопросы организации производства и управления. Организация учетного процесса. Учетная политика предприятия
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2020
контакты
userdocs.ru
Главная страница